7 svar
93 visningar
swaggerdabber44 behöver inte mer hjälp
swaggerdabber44 237
Postad: 19 okt 11:57

Gränsvärde

När x går mot +- oändligheten för t.ex. 3x4+16x3+18x2 hur ska man resonera då? Har egentligen enbart lärt mig uppställningar för bråk men vet inte riktigt hur jag ska tänka när det enbart är några termer. Det brukar oftast vara att det går mot +/- oändligheten men jag vet inte hur jag kan bevisa det.

naytte 4852 – Moderator
Postad: 19 okt 12:09 Redigerad: 19 okt 12:10

Polynomet går mot ++\infty i båda fallen. Då xx är jättestort eller jättelitet kommer f(x)3x4f(x) ≈ 3x^4

swaggerdabber44 237
Postad: 20 okt 11:16
naytte skrev:

Polynomet går mot ++\infty i båda fallen. Då xx är jättestort eller jättelitet kommer f(x)3x4f(x) ≈ 3x^4

Så det har ingenting med graden på polynomet att göra? Om t.ex. -oändligheten höjs upp till 3 blir det negativt? Eller så kanske man inte kan tänka? 

naytte 4852 – Moderator
Postad: 20 okt 14:08

Om t.ex. -oändligheten höjs upp till 3 blir det negativt?

Eller så kanske man inte kan tänka? 

Jo, det kan man! Men du måste också tänka vad som händer med de andra termerna. Låt ω\omega vara den oändlighet vi "stoppar" in. Då har vi:

limx-3x4+16x3+18x2=3-ω4+16-ω3+18-ω2=3ω4-16ω3+18ω2\displaystyle \lim_{x \to -\infty}\left(3x^4+16x^3+18x^2\right) =3\left(-\omega\right)^4+16\left(-\omega\right)^3+18\left(-\omega\right)^2=3\omega^4-16\omega^3+18\omega^2

Eftersom 3ω4>>>>-16ω33\omega^4 >>>> -16\omega^3 så måste gränsvärdet gå mot positiva oändligheten. Man kan tänka att den första oändligheten av grad 4 är "oändligt mycket större" och därför går allt mot oändligheten.

swaggerdabber44 237
Postad: 20 okt 17:22
naytte skrev:

Om t.ex. -oändligheten höjs upp till 3 blir det negativt?

Eller så kanske man inte kan tänka? 

Jo, det kan man! Men du måste också tänka vad som händer med de andra termerna. Låt ω\omega vara den oändlighet vi "stoppar" in. Då har vi:

limx-3x4+16x3+18x2=3-ω4+16-ω3+18-ω2=3ω4-16ω3+18ω2\displaystyle \lim_{x \to -\infty}\left(3x^4+16x^3+18x^2\right) =3\left(-\omega\right)^4+16\left(-\omega\right)^3+18\left(-\omega\right)^2=3\omega^4-16\omega^3+18\omega^2

Eftersom 3ω4>>>>-16ω33\omega^4 >>>> -16\omega^3 så måste gränsvärdet gå mot positiva oändligheten. Man kan tänka att den första oändligheten av grad 4 är "oändligt mycket större" och därför går allt mot oändligheten.

Ok,tack! Hur visste du att den av fjärde grad blir störst? Är det alltid den med högst grad som dominerar?

PATENTERAMERA 5931
Postad: 20 okt 17:41 Redigerad: 20 okt 17:42

Om du vill göra bevis, bryt först ut x4.

x4(3 + 16/x + 18/x2).

De två sista termerna i parentesen går mot 0 då x går mot oändlighet.

Sats: Om f(x) går mot oändlighet då x går mot oändlighet och om g(x) går mot a > 0, så går f(x)g(x) mot oändlighet då x går mot oändlighet. Bevis: Övning.

Tillämpa satsen på ovanstående. Vi inser att x4 går mot oändlighet då x går mot oändlighet.

swaggerdabber44 237
Postad: 21 okt 08:39
PATENTERAMERA skrev:

Om du vill göra bevis, bryt först ut x4.

x4(3 + 16/x + 18/x2).

De två sista termerna i parentesen går mot 0 då x går mot oändlighet.

Sats: Om f(x) går mot oändlighet då x går mot oändlighet och om g(x) går mot a > 0, så går f(x)g(x) mot oändlighet då x går mot oändlighet. Bevis: Övning.

Tillämpa satsen på ovanstående. Vi inser att x4 går mot oändlighet då x går mot oändlighet.

Tack, såklart att man kan göra så!

naytte 4852 – Moderator
Postad: 21 okt 13:32 Redigerad: 21 okt 13:32

Hur visste du att den av fjärde grad blir störst? 

Jag tycker det verkar naturligt att något oändligt stort upphöjt till fyra kommer vara oändligt mycket större än något oändligt stort upphöjt till tre.

Men man kan såklart införa lite rigör på sättet som PATENTERAMERA föreslår.

Svara
Close