Gränsvärde

Polynomet går mot $+\infty$ i båda fallen. Då $x$ är jättestort eller jättelitet kommer $f(x) ≈ 3x^4$

naytte skrev:

Polynomet går mot $+\infty$ i båda fallen. Då $x$ är jättestort eller jättelitet kommer $f(x) ≈ 3x^4$

Så det har ingenting med graden på polynomet att göra? Om t.ex. -oändligheten höjs upp till 3 blir det negativt? Eller så kanske man inte kan tänka? 

Om t.ex. -oändligheten höjs upp till 3 blir det negativt?

Eller så kanske man inte kan tänka? 

Jo, det kan man! Men du måste också tänka vad som händer med de andra termerna. Låt $\omega$ vara den oändlighet vi "stoppar" in. Då har vi:

$\displaystyle \lim_{x \to -\infty}\left(3x^4+16x^3+18x^2\right) =3\left(-\omega\right)^4+16\left(-\omega\right)^3+18\left(-\omega\right)^2=3\omega^4-16\omega^3+18\omega^2$

Eftersom $3\omega^4 >>>> -16\omega^3$ så måste gränsvärdet gå mot positiva oändligheten. Man kan tänka att den första oändligheten av grad 4 är "oändligt mycket större" och därför går allt mot oändligheten.

naytte skrev:

Om t.ex. -oändligheten höjs upp till 3 blir det negativt?

Eller så kanske man inte kan tänka? 

Jo, det kan man! Men du måste också tänka vad som händer med de andra termerna. Låt $\omega$ vara den oändlighet vi "stoppar" in. Då har vi:

$\displaystyle \lim_{x \to -\infty}\left(3x^4+16x^3+18x^2\right) =3\left(-\omega\right)^4+16\left(-\omega\right)^3+18\left(-\omega\right)^2=3\omega^4-16\omega^3+18\omega^2$

Eftersom $3\omega^4 >>>> -16\omega^3$ så måste gränsvärdet gå mot positiva oändligheten. Man kan tänka att den första oändligheten av grad 4 är "oändligt mycket större" och därför går allt mot oändligheten.

Ok,tack! Hur visste du att den av fjärde grad blir störst? Är det alltid den med högst grad som dominerar?

Om du vill göra bevis, bryt först ut x⁴.

x⁴(3 + 16/x + 18/x²).

De två sista termerna i parentesen går mot 0 då x går mot oändlighet.

Sats: Om f(x) går mot oändlighet då x går mot oändlighet och om g(x) går mot a > 0, så går f(x)g(x) mot oändlighet då x går mot oändlighet. Bevis: Övning.

Tillämpa satsen på ovanstående. Vi inser att x⁴ går mot oändlighet då x går mot oändlighet.

PATENTERAMERA skrev:

Om du vill göra bevis, bryt först ut x⁴.

x⁴(3 + 16/x + 18/x²).

De två sista termerna i parentesen går mot 0 då x går mot oändlighet.

Sats: Om f(x) går mot oändlighet då x går mot oändlighet och om g(x) går mot a > 0, så går f(x)g(x) mot oändlighet då x går mot oändlighet. Bevis: Övning.

Tillämpa satsen på ovanstående. Vi inser att x⁴ går mot oändlighet då x går mot oändlighet.

Tack, såklart att man kan göra så!

Hur visste du att den av fjärde grad blir störst? 

Jag tycker det verkar naturligt att något oändligt stort upphöjt till fyra kommer vara oändligt mycket större än något oändligt stort upphöjt till tre.

Men man kan såklart införa lite rigör på sättet som PATENTERAMERA föreslår.