12 svar
195 visningar
Heocon behöver inte mer hjälp
Heocon 174
Postad: 10 aug 2024 03:05

Gränsvärde

Jag har löst den här på följande sätt

Finns det något enklare sätt? Har använt substitution i andra upg men hittar inte nån här:/

tomast80 4253
Postad: 10 aug 2024 06:23

Jag skulle nog använt L'Hôpitals regel, alternativt MacLaurinutvecklingen för eax.

Tomten 1863
Postad: 10 aug 2024 08:55

Här en variant på L’Hopital: Sätt f(x)=e3x och g(x)=e4x. Då är (e3x-1)/(e4x-1) = (e3x-1)/x•((e4x-1)/x)-1=
(f(x)-f(0))/x•((g(x)-g(0))/x)-1

–>f’(0)•(g’(0))-1
3/4 när x—>0. (Derivatans definition).

Heocon 174
Postad: 10 aug 2024 13:42
Tomten skrev:

Här en variant på L’Hopital: Sätt f(x)=e3x och g(x)=e4x. Då är (e3x-1)/(e4x-1) = (e3x-1)/x•((e4x-1)/x)-1=
(f(x)-f(0))/x•((g(x)-g(0))/x)-1

–>f’(0)•(g’(0))-1
3/4 när x—>0. (Derivatans definition).

Lhopital kommer lite senare fram, finns det något ytterligare sätt att lösa denna?

Tomten 1863
Postad: 10 aug 2024 15:07

Förslaget ovan vilar inte på L’Hopital utan på derivatans definition. Men på detta sätt kan L’Hopital bevisas i detta fall.

Heocon 174
Postad: 10 aug 2024 16:07
Tomten skrev:

Förslaget ovan vilar inte på L’Hopital utan på derivatans definition. Men på detta sätt kan L’Hopital bevisas i detta fall.

Aha okej tack 

naytte Online 5319 – Moderator
Postad: 10 aug 2024 16:28 Redigerad: 10 aug 2024 16:32

Du kan använda infinitesimaler, vilket jag hintade lite åt i en av dina andra trådar. Vi kan tänka oss följande:

limxc(f)=std(f(c)), där std betecknar standarddelen av f(c).

I ditt fall kan vi göra så här:

limx0e3x-1e4x-1=limx0+e3x-1e4x-1=std(eε)3-1(eε)4-1=...

där ε är en positiv infinitesimal. Om man slutför detta resonemang kommer man också fram till 3/4.

Det var ungefär på detta sätt matematiker på 1700- och 1800-talet löste "gränsvärden" (gränsvärden var inte riktigt formaliserade på den tiden).

Tveksamt dock om detta ger poäng på en tenta i reell analys :)


Tillägg: 10 aug 2024 16:37

Vet heller inte om det är så mycket enklare än det du gjorde. Kanske lite mer intuitivt...?

Heocon 174
Postad: 10 aug 2024 17:18
naytte skrev:

Du kan använda infinitesimaler, vilket jag hintade lite åt i en av dina andra trådar. Vi kan tänka oss följande:

limxc(f)=std(f(c)), där std betecknar standarddelen av f(c).

I ditt fall kan vi göra så här:

limx0e3x-1e4x-1=limx0+e3x-1e4x-1=std(eε)3-1(eε)4-1=...

där ε är en positiv infinitesimal. Om man slutför detta resonemang kommer man också fram till 3/4.

Det var ungefär på detta sätt matematiker på 1700- och 1800-talet löste "gränsvärden" (gränsvärden var inte riktigt formaliserade på den tiden).

Tveksamt dock om detta ger poäng på en tenta i reell analys :)


Tillägg: 10 aug 2024 16:37

Vet heller inte om det är så mycket enklare än det du gjorde. Kanske lite mer intuitivt...?

Hihi men tack ändå, detta är envariabel😭

naytte Online 5319 – Moderator
Postad: 10 aug 2024 17:20

Fördelen med sådana "metoder" är att de ger en mycket mer intuitiv överblick av vad som händer. I många fall kan man också lösa gränsvärdet ganska fort och att veta vad svaret ska bli kan ju aldrig skada... :)

Heocon 174
Postad: 11 aug 2024 03:13
naytte skrev:

Fördelen med sådana "metoder" är att de ger en mycket mer intuitiv överblick av vad som händer. I många fall kan man också lösa gränsvärdet ganska fort och att veta vad svaret ska bli kan ju aldrig skada... :)

True tho, ska försöka bli bättre på att använda de🥹

tomast80 4253
Postad: 11 aug 2024 06:46 Redigerad: 11 aug 2024 06:46

Man kan använda serieutvecklingen:

eax=1+ax+O(x2)
limx0e3x-1e4x-1=
limx01+3x-11+4x-1=
limx03x4x=34

Heocon 174
Postad: 11 aug 2024 11:02
tomast80 skrev:

Man kan använda serieutvecklingen:

eax=1+ax+O(x2)
limx0e3x-1e4x-1=
limx01+3x-11+4x-1=
limx03x4x=34

Har aldrig sett den innan, men tack👀

naytte Online 5319 – Moderator
Postad: 11 aug 2024 17:53

Det är Taylorutvecklingen av funktionen.

Svara
Close