Gränsvärde

Jag vet inte om det stämmer 

känns att jag kanske gör onödiga beräkningar 

kan nån hjälpa mig tack 

Du vet inte om vad stämmer? Jag ser inga beräkningar?

Tips för uppgiften: Använd konjugatregeln.

Tips: Förläng med $\sqrt{n+a}+\sqrt{n}$.

Oj  något blev fel 

Aha, jag ser nu att det var $\sqrt{n+a}$ respektive $\sqrt{n+b}$. Missade det tidigare.

Spoiler:

$\frac{\left(\sqrt{n+a}-\sqrt{n}\right)\left(\sqrt{n+a}+\sqrt{n}\right)}{\sqrt{n+a}+\sqrt{n}}$$\left(\sqrt{n+b}+\sqrt{n}\right)$= $a\frac{\sqrt{n+b}+\sqrt{n}}{\sqrt{n+a}+\sqrt{n}}$=$a\frac{\sqrt{1+b/n}+1}{\sqrt{1+a/n}+1}$$\to a\frac{\sqrt{1+0}+1}{\sqrt{1+0}+1}=a$ då $n\to \infty$.

Förstår inte riktigt vad fu menar ?

Enligt mina beräkningar blir det noll

hur vet jag att det rätt ?

Nu förstår jag 👍🏽

Vi har $\left(\sqrt{n+a}-\sqrt{n}\right)\left(\sqrt{n+b}+\sqrt{n}\right)$. Vi förlänger med $\sqrt{n+a}+\sqrt{n}$.

$\frac{\left(\sqrt{n+a}+\sqrt{n}\right)\left(\sqrt{n+a}-\sqrt{n}\right)}{\sqrt{n+a}+\sqrt{n}}$$\left(\sqrt{n+b}+\sqrt{n}\right)$. Vi förenklar detta med konjugatregeln.

$a\frac{\sqrt{n+b}+\sqrt{n}}{\sqrt{n+a}+\sqrt{n}}$. Bryt ut $\sqrt{n}$i täljare och nämnare och förkorta.

$a\frac{\sqrt{n}\left(\sqrt{1+a/n}+1\right)}{\sqrt{n}\left(\sqrt{1+b/n}+1\right)}$=$a\frac{\sqrt{1+a/n}+1}{\sqrt{1+b/n}+1}$. Nu låter vi n gå mot oändlighet.

$\underset{n\to \infty }{\lim }a\frac{\sqrt{1+a/n}+1}{\sqrt{1+b/n}+1}$=$a\frac{\sqrt{1+0}+1}{\sqrt{1+0}+1}=a$.

Tack