Gränsvärde

$1^\infty$ är tyvärr en sådan där form som är odefinierad. 

Hur kan $1^{\infty }$ vara odefinierat? Om man håller på att multiplicera ihop en massa ettor med varandra, hur kan då produkten någonsin bli något annat än 1?

Det finns flera sätt att visa att $1^\infty$ leder till stora konstigheter. Ett klassiskt sätt är:

$\displaystyle 1^\infty=(e^{\ln 1})^{\infty}=(e^{\infty\cdot \ln 1})=e^{0\cdot \infty}$

Och $0\cdot \infty$ är naturligtvis odefinierat.

Det stora problemet i detta sammanhang är att $1^\infty$ inte betyder att man multiplicerar ihop massor av ettor, det är ett uttryck som saknar betydelse (i den vanliga analysen).

Och som svar på invändningen att resonemanget är felaktigt eftersom vi inte kan säga att oändligheten är ett tal och således inte följer vanliga räknelagar (känner på mig att någon kommer tänka det):

Vi förutsätter att oändligheten är ett "tal" redan när vi skriver $1^\infty$.

Tillägg: 24 mar 2024 12:48

Här är en mer djupgående länk för den som är intresserad: https://en.wikipedia.org/wiki/Indeterminate_form

Problemet är väl att säga att 1/t är försumbart är ett felslut, om än inte uppenbart.

Det är lättare att titta på vad som händer med logaritmen då t går mot oändlighet.

$\ln \left({\left(1+1/t\right)}^t\right)=t\ln (1+1/t)=\frac{\ln \left(1+1/t\right)-\ln \left(1\right)}{1/t}$, vi kan nu sätta h = 1/t, om t går mot oändlighet så går h mot 0⁺.

Så vi får gränsvärdet

$\underset{h\to 0^{+}}{\lim }\frac{\ln \left(1+h\right)-\ln \left(1\right)}{h}={\left(\frac{d\ln x}{dx}\right)}_{x=1}=1$, där vi utnyttjat derivatans definition och att vi vet derivatan av lnx.

Så logaritmen går mot 1 då t går mot oändlighet, och då borde det ursprungliga uttrycket gå mot e¹ = e.

Bra svar!

Men att $1^\infty$ är en odefinierad form är sant i fler situationer än bara denna. Man ska vara väldigt försiktig och misstänksam om man stöter på den formen. Ibland kan det vara 1, ibland inte... Det beror på situationen.