Gränsvärde

RobloxiafunYT skrev:

Hej! Jag förstår inte riktigt hur man kan komma fram till svaret på dessa två frågor:

 

a) Hur mycket är 4+ 3/1000? 4+3/1000000? 4+3/10000000000000000000000? Vilket tal närmar sig värdet?

b) Om h är jättestort, så blir det ingen större skillnad mellan 1 000 0003,14... och 1 000 000 000 mellan 1 000 000 000 003,14... och 1 000 000 000 000 så kvoten närmar sig...

Man kan ofta "stoppa in" oändligheten som ett tal (även om det naturligtivs inte finns något tal som kallas oändligheten), så länge man undviker odefinierade former. I b)-exemplet skulle du exempelvis kunna tänka så här:

$\displaystyle \lim_{h \to \infty} \frac{h+\pi}{h}=\lim_{h \to \infty}(\frac{h}{h}+\frac{\pi}{h})=\lim_{h \to \infty}(1+\frac{\pi}{h})$

I sista steget kan du tänka att du stoppar in något som är "oändligt stort". Då måste ju kvoten i någon mening bli "oändligt liten". Den enda icke-negativa infinitesimalen (="oändligt litet" tal)  som finns bland reella tal är 0. Gränsvärdet blir då...?

Tillägg: 16 mar 2024 21:44

Att tänka som Smaragdalena föreslog är naturligtvis inte fel, men det finns situationer där det är ganska opraktiskt. Ett sådant exempel är den naturliga logaritmen. Låt säga att vi ville undersöka följande gränsvärde:

$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \ln x$

Denna funktion växer extremt långsamt. Vi skulle kunna testa att stoppa in några stora tal:

$\ln(10000) \approx 9.2$

$\ln(100000) \approx 11.5$

$\ln (100000000000) \approx 25.3$

Det blir inte direkt tydligt vad detta går mot när man testar sig fram numeriskt. När vi gjorde $x$ 1000000 gånger större blev skillnaden bara ca. 13.8...

dessa svar hittade jag i bokens facit men jag förstår de inte riktigt:

kan du snälla förklara vad de menar, hur fick de fram att "pi delad med h" är lika med 0?

RobloxiafunYT skrev:

kan du snälla förklara vad de menar, hur fick de fram att "pi delad med h" är lika med 0?

Nej, pi/h => 0när h blir jättestort. Det är h/h som är lika med 1, även om h är oändligt stort.

tack då förstår jag!