gränsvärde

Hej

jag har en uppgift där man ska räkna ut gränsvärdet till:

$\frac{l i m}{(x, y) \to (0, 0)} \frac{x^{2} y^{2}}{x^{2} + y^{4}}$

med polära koordinater får vi $\frac{l i m}{r \to 0} \frac{r^{4} \cos^{2} θ \sin^{2} θ}{r^{2} \cos^{2} θ + r^{4} \sin^{4} θ}$

nästa steg i lösningen ska bli $\frac{l i m}{r \to 0} \frac{r^{2} \cos^{2} θ \sin^{2} θ}{\cos^{2} θ + r^{2} \sin^{4} θ} = \frac{0}{\cos^{2} θ} = 0$

har dom alltså i det andra steget delat både täljare och nämnare med $r^{2}$ ? och hur får vi nollan i täljaren? jag trodde att det skulle bli 1

Nej, men när $r \to 0$ blir täljaren:

$0 \cdot \cos^{2} (θ) \cdot \sin^{2} (θ) = 0$

och nämnaren:

$0 \cdot \sin^{4} (θ) + \cos^{2} (θ) = \cos^{2} (θ)$

vilket ger dig:

$\frac{0}{\cos^{2} (θ)}$

Edit: Missförstod frågan, sorry.
$\lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{r^{4} \cos^{2} (θ) \sin^{2} (θ)}{r^{2} \cos^{2} (θ) + r^{4} \sin^{4} (θ)} = \lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{r^{2} (r^{2} \cos^{2} (θ) \sin^{2} (θ))}{r^{2} (\cos^{2} (θ) + r^{2} \sin^{4} (θ))}$ , ser du att r:en tar ut varandra?

Men innan det har de gjort förkortningen med $r^2$ som JnGn sa.

Sen hade jag väl önskat mig en specialbehandling av fallet $cos^2\theta=0$ för att vara riktigt noggrann.

det jag undrar över är hur man får från $\frac{r^{4} \cos^{2} θ \sin^{2} θ}{r^{2} \cos^{2} θ + r^{4} \sin^{4} θ}$ till $\frac{r^{2} \cos^{2} θ \sin^{2} θ}{\cos^{2} θ + r^{2} \sin^{4} θ}$ har man helt enkelt delat både täljare och nämnare med $r^{2}$ efter att först multiplicerat ihop båda $r^{2}$ termerna i täljaren till $r^{4}$

Man förkortar bort $r^{2}$ , se min edit. :)

nu förstår jag,tack :)

Svara

Visa senaste svar