Gränsvärde

Hej kan någon hjälpa mig med att beräkna gränsvärdet i följande uppgift

$\frac{l i m}{(x . y) \to (0, 0)}$ $(x^{2} + y^{2}) \ln (x^{2} + y^{2})$

Ska man börja med att göra om till polära koordinater, då får vi

( $r^{2} \cos^{2} φ + r^{2} \sin^{2} φ) \ln (r^{2} \cos^{2} φ + r^{2} \sin^{2} φ)$ Sen kan man väl bryta ur $r^{2}$ och få $r^{2} (\cos φ + \sin φ) \ln (\cos φ + \sin φ)$

Men hur ska man ta sig vidare härifrån?

Använd polära koordinater. Kan du förenkla vinkelberoendet med en vanligt förekommande trigonometrisk identitet?

Det går inte att bryta ur $r^{2}$ på det sättet. I första parentesen får du kvar $(\cos^{2} φ + \sin^{2} φ)$ och i den andra likaså, men du kan inte heller utan vidare ta ut r utanför logaritmuttrycket.

Dr. G skrev :
Använd polära koordinater. Kan du förenkla vinkelberoendet med en vanligt förekommande trigonometrisk identitet?

Kan man inte använda trigonometriska ettan? då vi har $c o x^{2} φ + \sin^{2} φ$

Jovisst kan (ska) du använda den.

tar jag den trigonometriska ettan för jag ju (1)ln(1) kvar, hur ska man göra sen för att kunna skissa definitionsmängden

Med polöra koordinater får du ett envariablesproblem. när (x,y) går mot (0,0) går r mot 0 (r är ju avståndet från origo).

Du får kvar med trigonomettriska ettan r^2*ln(r^2). Här kan du (om du vill) göra nytt variabelbyte r^2=t, t mot 0. Om du då använder dina envariablesanalyskunskaper så tror jag du kan lösa det

Tillägg: t går ju till och med mot 0 från positiva sidan, eftersom r både är en längd (är alltid positivt) och i kvadrat (blir alltid positivt). Nu är det som upplagt att använda standardgränsvärde!

okej så har jag $r^{2} \times \ln (r^{2})$ där $r \Rightarrow 0$ får vi $0^{2} \times \ln (0^{2}) = 0$

då blir ju gränsvärdet noll

B.N. skrev :
okej så har jag $r^{2} \times \ln (r^{2})$ där $r \Rightarrow 0$ får vi $0^{2} \times \ln (0^{2}) = 0$
då blir ju gränsvärdet noll

Eftersom $ln(0)=-\infty$ så kan du inte argumentera på det sättet. Du kan däremot utnyttja att $\lim_{t\rightarrow 0}tln(t)$ . Använd nu standardgränsvärde.

Svara

Visa senaste svar