Gränsvärde 0/oändligheten

Du kan konstatera att $\ln(1+\frac{1}{x})$ växer långsammare (uttrycket går till och med mot noll) än $x^2$, alltså kommer det gränsvärdet du har längst ned att gå mot $0$.

Ett annat alternativ är helt enkelt att inse att

$\lim_{x\to\infty}1+\dfrac{1}{x}=1$

och att

$\lim_{x\to\infty}\dfrac{1}{x^2}=0$

och att gränsvärdet därför blir:

$\lim_{x\to\infty}(1+\dfrac{1}{x})^{\frac{1}{x^2}}=1^0=1$

(Detta eftersom $1^0$ inte är ett obestämt uttryck, till skillnad från exempelvis $1^\infty$)

AlvinB skrev:

Du kan konstatera att $\ln(1+\frac{1}{x})$ växer långsammare (uttrycket går till och med mot noll) än $x^2$, alltså kommer det gränsvärdet du har längst ned att gå mot $0$.

Ett annat alternativ är helt enkelt att inse att

$\lim_{x\to\infty}1+\dfrac{1}{x}=1$

och att

$\lim_{x\to\infty}\dfrac{1}{x^2}=0$

och att gränsvärdet därför blir:

$\lim_{x\to\infty}(1+\dfrac{1}{x})^{\frac{1}{x^2}}=1^0=1$

(Detta eftersom $1^0$ inte är ett obestämt uttryck, till skillnad från exempelvis $1^\infty$)

 De alternativa sättet fattade jag men det första menar du att de blir 0×0 då? I annat fall blir de ju 0/inf 

Nej, med det första sättet menar jag att vi konstaterar att $x^2$ växer snabbare än $\ln(1+\frac{1}{x})$; därför blir gränsvärdet

$\lim_{x\to\infty}\dfrac{\ln(1+\frac{1}{x}}{x^2}=0$

eftersom detta var logaritmen av gränsvärdet vi egentligen eftersökte får ta $e$ upphöjt till detta:

$\lim_{x\to\infty}(1+\dfrac{1}{x})^{\frac{1}{x^2}}=e^0=1$