Gränsväden

Fick du fel svar på gränsvärdet eller på skissen?

naytte skrev:

Fick du fel svar på gränsvärdet eller på skissen?

Jag trodde jag skulle göra såhär för att få fram gränsvärdet och sedan skissa:

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=1·x^{-2} \\ f\text{'}\left(x\right) =\hspace{0.17em}{x}^{-3} \\ och får fram fel skiss \end{gathered}$$

Du behöver inte gränsvärdet för att skissa grafen. Gränsvärdet är det som är enklast här så vi kan ju börja med det.

Vad sker när $x\to \infty$? Du har ju 1 delat på något som blir större och större. Då blir ju funktionsvärdet mindre och mindre, dvs:

$\underset{x\to \infty }{\lim }f\left(x\right)=0$. Hänger du med?

För grafen sedan kan du tänka på hur grafen till $\frac{1}{x}$ ser ut. För alla x>0 kommer grafen se ungefär likadan ut, men det är för alla x<0 som det blir intressant. Eftersom att vi har en kvadrat i nämnaren kommer alla utvärden bli positiva, dvs. y-värdet för ett x<0 blir samma som för "samma" x>0. Den vänstra delen av grafen blir en spegling av den högra.

naytte skrev:

Du behöver inte gränsvärdet för att skissa grafen. Gränsvärdet är det som är enklast här så vi kan ju börja med det.

Vad sker när $x\to \infty$? Du har ju 1 delat på något som blir större och större. Då blir ju funktionsvärdet mindre och mindre, dvs:

$\underset{x\to \infty }{\lim }f\left(x\right)=0$. Hänger du med?

För grafen sedan kan du tänka på hur grafen till $\frac{1}{x}$ ser ut. För alla x>0 kommer grafen se ungefär likadan ut, men det är för alla x<0 som det blir intressant. Eftersom att vi har en kvadrat i nämnaren kommer alla utvärden bli positiva, dvs. y-värdet för ett x<0 blir samma som för "samma" x>0. Den vänstra delen av grafen blir en spegling av den högra.

Jag tror jag förstår. Vad händer om funktionsvärdet blir större då?  

Jag förstår inte riktigt frågan. När vi tar gränsvärdet när $x\to \infty$ så blir funktionsvärdet endast mindre och mindre. Om du hade tagit exempelvis $\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)$ istället hade funktionsvärdet istället blivit större och större.

naytte skrev:

Jag förstår inte riktigt frågan. När vi tar gränsvärdet när $x\to \infty$ så blir funktionsvärdet endast mindre och mindre. Om du hade tagit exempelvis $\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)$ istället hade funktionsvärdet istället blivit större och större.

Jag tror att jag börjar förstå det nu. Så med andra ord, när $x\to \infty$så går f(x) mot 0. Så alla funktioner man får, oavsett hur de ser ut så vill de gå så nära 0 som möjligt för x→∞. Tänker jag rätt då?

Nej, inte riktigt. Det gäller inte för alla funktioner. Exempelvis gäller det inte för $y=2^{1/x}$. Här är $\underset{x\to \infty }{\lim } y=1$.

I just vårt fall med $f\left(x\right)=\frac{1}{x^2}$ råkade det vara så. Men det beror helt på hur funktionen ser ut.

Det blir tydligare när du skissat grafen. Jag tycker uppgiften har blivit löst i helt fel ordning. Vilket naytte nämnde i inlägg #4

naytte skrev:

Du behöver inte gränsvärdet för att skissa grafen. 

Första steget är att ta fram eventuella extrempunkter och asymptoter. Om du hade tagit fram asymptoterna så hade du direkt sett vad som händer när $x \rightarrow 0$ från båda sidorna, samt då $x \rightarrow \pm \infty$

https://www.desmos.com/calculator/v9iruotftb