Gränssättning vid polära omskrivningar vid dubbelintegraler

Hej! Fått en fråga där lärare inte riktigt gått igenom tillvägagångssättet för att lösa den. Uppgiften lyder

Beräkna dubbelintegralen $\iint_{D} \frac{1}{8} x y^{2} d x d y$ som begränsas av det högra halvplanet som innesluts i cirkeln $x^{2} + y^{2} = 8$ och kurvan $y^{2} = 2 x$ .

Jag räknar sedan ut att kurvan korsar cirkeln vid (2,2) & (2,-2). Sen genomför jag variabelbytet $x = r \cos (θ), y = r \sin (θ)$ . För att beräkna mina integral gränser tänker jag mig att r går från 0 - $\sqrt{8}$ . För att beräkna $θ$ tänker jag mig att jag skapar en triangel med kateterna 2 och hypoteunusan $\sqrt{8}$ .Arcsin( $\frac{2}{\sqrt{8}}$ )= $\frac{π}{4}$ och på samma sätt kommer den andra vinkeln bli - $\frac{π}{4}$ . Detta borde ge mig gränserna $0 \leq r \leq \sqrt{8}, - \frac{π}{4} \leq θ \leq \frac{π}{4}$ .

Är detta rätt tänkt?

Efter lite funderande har jag kommit fram till att den går att lösa utan byte till polära koordinater. Tänker mig att man drar en vertikal linje vid punken (2,2) för att få fram två stycken ytor. Sedan kan man göra ett variabelbyte och får fram följande $\int_{0}^{2} \frac{1}{8} x * (2 x) + \int_{2}^{\sqrt{8}} \frac{1}{8} x (8 - x^{2})$ . Detta multiplicerar man med två och då borde man få fram det slutgiltiga svaret. Men det ger mig fortfarande inte rätt, är det något jag glömt?

Det är bra ide att dela upp i två integraler. Däremot så är dina integraler felaktiga. Börja med att skriva ut båda dubbelintegralerna med integrationsgränser för både x och y. Redovisa sedan dina steg.

Svara