Gram-Schmidt ortogonalisering- ändras inte vektorernas förhållanden till varandra

Vi kan ta ett enkelt exempel.

Vektorerna (1,0) och (1,1) bildar en bas för R2. Denna bas är inte ortogonal (med den vanliga euklidiska skalärprodukten). Du kan skapa en ortogonal bas med Gram-Schmidt och får då t.ex (1,0) och (0,1) som basvektorer (eller (1,1) och (1,-1), etc, som du får normera).

Det finns oändligt många baser till ett givet vektorrum. Många gånger blir det mycket lättare att räkna med en ortogonal bas, så det är därför det ofta är att föredra.

Tänk på att en vektor är vad den är och är oberoende av vilken bas den uttrycks i. Vektorns koordinater är däremot basberoende. 

Dr. G skrev:

Vi kan ta ett enkelt exempel.

Vektorerna (1,0) och (1,1) bildar en bas för R2. Denna bas är inte ortogonal (med den vanliga euklidiska skalärprodukten). Du kan skapa en ortogonal bas med Gram-Schmidt och får då t.ex (1,0) och (0,1) som basvektorer (eller (1,1) och (1,-1), etc, som du får normera).

Det finns oändligt många baser till ett givet vektorrum. Många gånger blir det mycket lättare att räkna med en ortogonal bas, så det är därför det ofta är att föredra.

Tänk på att en vektor är vad den är och är oberoende av vilken bas den uttrycks i. Vektorns koordinater är däremot basberoende. 

 Okej tack! Så man typ väljer ett koordinatsystem så att vektorerna blir ortogonala mot varandra men eftersom förhållandet mellan de är samma så spänner de upp samma rum?

Vektorn $x$ anges i basen $e$ som

    $x = a_1e_1+a_2e_2.$

Hur vektorerna $e_1$ och $e_2$ ''förhåller sig'' sinsemellan spelar ingen som helst roll för $x$; däremot spelar deras förhållande roll för hur talen $a_1$ och $a_2$ ser ut, men slutresultatet ($x$) förblir detsamma oavsett vilken bas du använder.

Albiki skrev:

Vektorn $x$ anges i basen $e$ som

    $x = a_1e_1+a_2e_2.$

Hur vektorerna $e_1$ och $e_2$ ''förhåller sig'' sinsemellan spelar ingen som helst roll för $x$; däremot spelar deras förhållande roll för hur talen $a_1$ och $a_2$ ser ut, men slutresultatet ($x$) förblir detsamma oavsett vilken bas du använder.

 aha, Tack så mycket! då förstår jag :)