Grafisk metod (Matematik/Matte 4/Integraler och tillämpningar)

Lake55 skrev:
Hej jag har funderat över den här frågan så länge men jag vet inte hur ska man börja beräkna det:
"Använd en grafisk metod (trapets- eller rektangel) för att beräkna $\int_{0}^{1} \sqrt{1 - x^{3}} d x$ . I din lösning ska du använda minst 4 delintervall vid beräkningen".

Dela upp x-intervallet 0 -> 1 i minst 4 delintervall och rita parallelltrapetser eller rektanglar för varje intervall..

Approximera integralens värde med summan av areorna av parallelltrapetserna/rektanglarna.

Ska jag rita 0 till 1 för x värde och delar minst 4 delintervall antigen med rektanglar?

Se exempel nedan:

Hej jag förstår inte metoden.

Lake55 skrev:
Hej jag förstår inte metoden.

Vad är det du inte har förstått med metoden? Här har man valt att att använda trapetser, man kan lika gärna använda sig av rektanglar, där man kan välja höjden så att den är funktionens minsta värde i varje intervall, funktionens största värde i varje intervall eller mittpunktens värde.

Jag förstår inte hur man beräknar med t.ex metoden trapetser.

Har du läst vad det står i din lärobok, alternativt på det mest uppenbara stället?

Ja det har jag läst och förstår inte fortfarande. Kan du använda någon t.ex. för att se hur man beräknar det?

Lake55 skrev:
Ja det har jag läst och förstår inte fortfarande. Kan du använda någon t.ex. för att se hur man beräknar det?

Vad är det du inte förstår med exemplet som tomast80 skrev? På vilken rad tappar du tråden?

Vilket/vilka av följande steg hänger du inte med på?

Integralens värde I är lika med arean under grafen.
Arean under grafen är ungefär lika med summan av parallelltrapetsernas areor, dvs $I\approx A_1+A_2+A_3+A_4$
Kalla intervallstorleken för $h$ , dvs $h=x1-x_0=x_2-x_1=x_3-x_2=x_4-x_3$
Arean av den första parallelltrapetsen är då $A_1=h\cdot\frac{f(x_0)+f(x_1)}{2}$
Arean av den andra parallelltrapetsen är då $A_2=h\cdot\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$
Arean av den tredje parallelltrapetsen är då $A_3=h\cdot\frac{f(x_2)+f(x_3)}{2}$
Arean av den fjärde parallelltrapetsen är då $A_4=h\cdot\frac{f(x_3)+f(x_4)}{2}$
Det betyder att $A_1+A_2+A_3+A_4=$

$=h\cdot\frac{f(x_0)+f(x_1)+f(x_1)+f(x_2)+f(x_2)+f(x_3)+f(x_3)+f(x_4)}{2}=$

$=\frac{h}{2}\cdot (f(x_0)+2f(x_1)+2f(x_2)+2f(x_3)+f(x_4))$

På rad ett och två. På min fråga så har den √1-x^3.

Eftersom din integral skall beräknas från 0 till 1 blir de 4 intervallen från 0 till 0,25, från 0,25 till 0,50,från 0,50 till 0,75 och från 0,75 till 1,0. Du behöver alltså beräkna funktionsvärdena i 5 punkter. Är du med så långt? Kan du beräkna f(0), f(0,25), f(0,5), f(0,75) och f(1)?

Jag förstår det du som har skrivit smaragdalena, men jag förstår inte principen, jag förstår inte varför det ska vara 2f(x1) till x3 och inte f(x0) och f(x4). Kanske det går bra med rektangel istället.

Är du med på att man får fram arean av trapetset längst till vänster genom att multiplicera basen (0,25-0) med medelvärdet av höjderna (f(0)+f(0,25))/2?

Jag vet att A= h(a+b)/2 för paralleltrapetset. Men problemet vad ska jag göra med √1-x^3. Kan ni vissa med rektangel metoden kanske lättare.

Vad är f(0)? Vad är f(0,25)?

Lake55 skrev:
På rad ett och två. På min fråga så har den √1-x^3.

Vad på punkt 1 och 2 är det du inte förstår?

Förstår du punkt 1, nämligen att integralens värde är lika stort som arean mellan funktionens graf och x-axeln?

Förstår du punkt 2, nämligen att arean mellan funktionens graf och x-axeln är ungefär lika med den sammanlagda arean av parallelltrapetserna i figuren?

Lake55 skrev:
Jag vet att A= h(a+b)/2 för paralleltrapetset. Men problemet vad ska jag göra med √1-x^3. Kan ni vissa med rektangel metoden kanske lättare.

Din funktion är $f(x)=\sqrt{1-x^3}$ .

Det betyder till exempel att $f(0)=\sqrt{1-0^3}=1$ . Är du med på det?

Om du ritar funktionens graf så ser den ut så här och det är alltså arean under den grafen du ska ta fram ett närmevärde på med hjälp av den numeriska metoden::

Ja nu är jag med, men för metoden så är den krånglig.

Lake55 skrev:
Ja nu är jag med, men för metoden så är den krånglig.

I det här svaret har jag med hjälp av 8 steg visat hur man kommer fram till metoden.

Vilket/vilka av de stegen behöver du få förklarat mer?

Hej ska man inte först hitta primitiva funktionen för √1-x^3.

Om jag har h/2 och 1-0/4 = 1/4. Hur det ska stoppas in i h/2?

Nej, när du skall beräkna en area med trapetsmetoden (eller rektangelmetoden) behöver du inteta framen primitiv funktion. I det här fallet hade det varit ganska enkelt att beräkna integralens area exakt, men det fins andra funktioner där man inte kan ta fram en primitiv funktion, och då är den här typen av beräkningar enda sättet att ta fram integralen.

Ok för att den innehåller roten ur och x^3 och där kan man inte veta primitiva funktionen för den. Om jag har h som är 1/4 och h/2 hur ska det stoppas in i h/2.

Jag förstår inte alls vad du menar med att något ska "stoppas in i h/2".

---------

Varför svarar du inte på min fråga?

Det är jättesvårt att hjälpa dig om vi inte vet vilka delar du inte förstår.

Varför kan ni inte använda rektangel metoden istället?

Jovisst, det går utmärkt att använda den istället.

Vill du göra det?

Ja, om det går.

OK då tar vi den istället.

Vilket/vilka av följande steg hänger du inte med på?

Integralens värde I är lika med arean under grafen.
Arean under grafen är ungefär lika med summan av rektanglarnas areor, dvs $I\approx A_1+A_2+A_3+A_4$
Kalla intervallstorleken för $h$ , dvs $h=x1-x_0=x_2-x_1=x_3-x_2=x_4-x_3$
Arean av den första rektangeln är då $A_1=h\cdot f(\frac{x_0+x_1}{2})$
Arean av den andra rektangeln är då $A_2=h\cdot f(\frac{x_1+x_2}{2})$
Arean av den tredje rektangeln är då $A_3=h\cdot f(\frac{x_2+x_3}{2})$
Arean av den fjärde rektangeln är då $A_4=h\cdot f(\frac{x_3+x_4}{2})$
Det betyder att $A_1+A_2+A_3+A_4=$

$=h\cdot (f(\frac{x_0+x_1}{2})+f(\frac{x_1+x_2}{2})+f(\frac{x_2+x_3}{2})+f(\frac{x_3+x_4}{2}))$

Ok. Jag förstår nu båda metoden men jag vet inte vad man ska stoppa in i båda metoden.

Lake55 skrev:
Ok. Jag förstår nu båda metoden men jag vet inte vad man ska stoppa in i båda metoden.

I ditt fall är

$f(x)=\sqrt{1-x^3}$

$x_0=0$

$x_1=0.25$

$x_2=0.5$

$x_3=0.75$

$x_4=1$

Om vi nu tar metoden med rektanglar så har du att rektanglarnas mittpunkter i x-led är:

$\frac{x_0+x_1}{2}=\frac{0+0.25}{2}=0.125$

$\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{0.25+0.5}{2}=0.375$

$\frac{x_2+x_3}{2}=$ … kan du fylla i detta själv?

$\frac{x_3+x_4}{2}$ … kan du fylla i detta själv?

Rektanglarnas höjder är då respektive:

$f(0.125)=\sqrt{1-0.125^3}\approx0.999$

$f(0.375)=\sqrt{1-0.375^3}\approx0.763$

... kan du fortsätta själv?

Men hur tar man reda på om x0= 0, x1= 0,25 själv och inte med grafräknare.

Steglängden , h, beräknas med $h=\dfrac{b-a}{n}$ , där a=vänster ändpunkt, b=höger ändpunkt, n=antal delintervall.

Ok tack Dr_lund så h= b-a/n, där n är antalet 4 dels intervall. h= 1-0/4 ger 1/4 eller 0,25 för x1 sen plussar jag resten av för x2 = 0,50, x3= 0,75 och x4=1.

Precis. Steget är konstant mellan varje delningspunkt.

Ok, då vet jag om jag använder trapasetmetoden då behöver jag multiplicera 2 för varje mellan delintervall medan rektangel metoden så är det inte. Varför är det så?

Det har att göra med vad du ersätter f(x) med.

I Rektangelmetoden approximeras f(x) med konstanta y-värden.

I Trapetsmetoden approximeras f(x) med linjära funktioner (räta linjer y=kx+m).

Ok så vilken är den lättaste metoden trapetsmetoden eller rektangel metoden?

Lake55 skrev:
Ok så vilken är den lättaste metoden trapetsmetoden eller rektangel metoden?

Trapetsmetoden kräver n+1 beräkningar av funktionsvärdet, rektangelmetoden kräver endast n beräkningar av funktionsvärdet.

Jag har nu h= 1/4

f(0,125)= √1-0,125^3 ~ 0,999

f(0,375) = √1-0,375^3 ~ 0,763

f(0,875) = √1-0,875^3~ 0,5745 ~ 0,575

f(1,25)= √1-1,25^3 ~ 0,953

Är det här rätt?

Nej dina x-värden stämmer inte. De ska ligga lika långt ifrån varandra och i mitten av var sitt intervall.

Det x-värde som ligger i mitten av intervallet 0 till 0,25 är x = 0,125 eftersom (0+0,25)/2 = 0,125.
Det x-värde som ligger i mitten av intervallet 0,25 till 0,5 är x = 0,375 eftersom (0,25+0,5)/2 = 0,375.
Det x-värde som ligger i mitten av intervallet 0,5 till 0,75 är x = 0,625 eftersom (0,5+0,75)/2 = 0,625.
Det x-värde som ligger i mitten av intervallet 0,75 till 1 är x = 0,875 eftersom (0,75+1)/2 = 0,875.

Jag har markerat dessa x-värden med röda pilar i den här figuren:

f(0,125)= √1-0,125^3 = 0,99902296019

f(0,375)=√1-0,375^3 = 0,97327571889

f(0,625)=√1-0,625^3 = 0,86940173395

f(0,875)=√1-0,875^3 = 0,57452425971

Är det nu rätt?

Om jag gör nu 1/4(0,99902296019+0,9732751889+0,86940173395+0,57452425971)= 0,8540560356875 svaret.

Lake55 skrev:
Lake55 skrev:
Jag har nu h= 1/4
f(0,125)= √1-0,125^3 ~ 0,999
f(0,375) = √1-0,375^3 ~ 0,763
f(0,875) = √1-0,875^3~ 0,5745 ~ 0,575
f(1,25)= √1-1,25^3 ~ 0,953
Är det här rätt?

Jag ser ingen skillnad gentemot det du skrev tidigare. Det är alltså fortfarande samma fel på dina x-värden.

Lake55, det är inte tillåtet att ändra i ett besvarat inlägg. Om du fortsätter bryta mot Pluggakutens regler riskerar du att bli avstängd. Dessutom - på det här sättet har inte Yngve någon anledning att titta på den här tråden, eftersom det senaste inlägget är hans. /moderator

Lake55 skrev:
f(0,125)= √1-0,125^3 = 0,99902296019
f(0,375)=√1-0,375^3 = 0,97327571889
f(0,625)=√1-0,625^3 = 0,86940173395
f(0,875)=√1-0,875^3 = 0,57452425971
Är det nu rätt?
Om jag gör nu 1/4(0,99902296019+0,9732751889+0,86940173395+0,57452425971)= 0,8540560356875 svaret.

Metoden är rätt.

Jag får närmevärdet 0,854056168 så någon av oss räknar fel på slutet.

Hursomhelst så bör du avrunda svaret till färre decimaler, kanske till 0,8541 a.e.

Ok tack för hjälpen nu blev det tydligt för mig. :)