Grafisk lösningar

Låt mig förklara med ett exempel:

Ponera att du skall hitta när som

$x^2+10=0$

Ett sätt att göra detta på vore att rita upp funktionen $y=f\left(x\right)=x^2+10$och se för vilka x-värden som y-värdet blir 0, dvs. när som kurvan skär x-axeln.

Den funktionen är enkel nog att du antagligen kan se framför dig hur den ser ut: en dal, en glad mun, då x=0 som får större och större värde då x får värden längre och längre från 0. Då den dessutom som lägst blir 10 då x=0 så kommer den inte ens i närheten av x-axeln, så det finns inga x-värden för vilka y-värdet blir 0. Den saknar med andra ord reella lösningar.

Om vi nu låter konstanten 10 minska i värde kommer grafen komma närmre och närmre x-axeln, ända tills konstanten är 0, vid vilket tillfälle kurvan nätt och jämnt snuddar vid x-axeln med sin lägsta punkt, dvs. då x=0. Vi har då ekvationen

$x^2=0$

vilket om man löser algebraiskt ger att $x=\pm \sqrt{0}=\pm 0$. Detta är egentligen två lösningar som råkar vara identiska, och är det som man kallar dubbelrot.

Låter vi konstanten bli ännu lägre(t.ex. -4) så befinner sig minipunkten i grafen under x-axeln, och eftersom grafen är ständigt stigande om vi går ifrån minipunkten så kommer vi få två punkter som skär x-axeln, så vi har två stycken lösningar, två reella lösningar.

Löser man detta algebraiskt får man

$$\begin{gathered} x^2+10=0\Rightarrow x^2=-10\Rightarrow x=\pm \sqrt{-10}, ej reellt \\ {x}^2=0\Rightarrow x=\pm \sqrt{0}=\pm 0, dubbelrot \\ {x}^2-4=0\Rightarrow x^2=4\Rightarrow x=\pm \sqrt{4}=\pm 2, två reella rötter \end{gathered}$$

Jag hoppas detta gav en fingervisning om vad som egentligen händer då du letar rötter.

ja, nu fattar jag tack för hjälpen