Graferna till funktionerna (Matematik/Matte 4)

Börja med att ta fram skärningspunkterna.

Du får skärningspunkternas $x$ -värden med hjälp av ekvationen

$\sin\left(x\right)=\sin(x+\dfrac{\pi}{4})$

Hur ser det ut med grafräknaren?

Laguna skrev:
Hur ser det ut med grafräknaren?

Ja, man ser ju två skärningspunkter. Kan du räkna ut vilka de är genom att lösa en ekvation?

AlvinB skrev:
Börja med att ta fram skärningspunkterna.
Du får skärningspunkternas $x$ -värden med hjälp av ekvationen
$\sin\left(x\right)=\sin(x+\dfrac{\pi}{4})$

$\sin x = \sin (x + \frac{π}{4}) x = x + \frac{π}{4} + n * 2 π 0 = \frac{π}{4} + n * 2 π$

Corokia cotoneaster skrev:
AlvinB skrev:
Börja med att ta fram skärningspunkterna.
Du får skärningspunkternas $x$ -värden med hjälp av ekvationen
$\sin\left(x\right)=\sin(x+\dfrac{\pi}{4})$
$\sin x = \sin (x + \frac{π}{4}) x = x + \frac{π}{4} + n * 2 π 0 = \frac{π}{4} + n * 2 π$

Om x hade kunnat vara lika x + pi/4 så hade det varit ett användbart steg, men det kan det ju inte. pi/4 är faktiskt inte noll.

Laguna skrev:
Corokia cotoneaster skrev:
AlvinB skrev:
Börja med att ta fram skärningspunkterna.
Du får skärningspunkternas $x$ -värden med hjälp av ekvationen
$\sin\left(x\right)=\sin(x+\dfrac{\pi}{4})$
$\sin x = \sin (x + \frac{π}{4}) x = x + \frac{π}{4} + n * 2 π 0 = \frac{π}{4} + n * 2 π$
Om x hade kunnat vara lika x + pi/4 så hade det varit ett användbart steg, men det kan det ju inte. pi/4 är faktiskt inte noll.

Okej,

$x = π - (x + \frac{π}{4}) + n * 2 π$

Kan detta vara användbart då?

Ja, lös ut $x$ och se vilka lösningar som ligger i intervallet $0\leq x\leq2\pi$ .

AlvinB skrev:
Ja, lös ut $x$ och se vilka lösningar som ligger i intervallet $0\leq x\leq2\pi$ .

Vet inte riktigt vad nästa steg ska bli för att kunna lösa ut x.

Du har ekvationen:

$x=\pi-(x+\dfrac{\pi}{4})+n\cdot2\pi$

Börja med att öppna parentesen. Därefter vill du få $x$ ensamt i ett led. Det kommer du ihåg hur man gör, eller hur?

AlvinB skrev:
Du har ekvationen:
$x=\pi-(x+\dfrac{\pi}{4})+n\cdot2\pi$
Börja med att öppna parentesen. Därefter vill du få $x$ ensamt i ett led. Det kommer du ihåg hur man gör, eller hur?

$x = π - (x + \frac{π}{4}) + n * 2 π x = π - x - \frac{π}{4} + n * 2 π 2 x = π + \frac{π}{4} 2 x = \frac{2 π}{4}$

Det där känns inte rätt det bli något knas efter jag flyttat över x:et Ska det bli:

$2 x = π - \frac{π}{4}$ ?

Ja, men du glömmer $n\cdot2\pi$ . På tredje raden borde du få:

$2x=\pi-\dfrac{\pi}{4}+n\cdot2\pi$

AlvinB skrev:
Ja, men du glömmer $n\cdot2\pi$ . På tredje raden borde du få:
$2x=\pi-\dfrac{\pi}{4}+n\cdot2\pi$

Ja det också,

$2 x = π - \frac{π}{4} + n * 2 π Men \det kan ju inte bli \frac{0}{4} + n * 2 π$

Nej, det är fel. Skriv $\pi$ som $\frac{4\pi}{4}$ så kanske det är enklare att utföra subtraktionen:

$2x=\pi-\dfrac{\pi}{4}+n\cdot2\pi$

$2x=\dfrac{4\pi}{4}-\dfrac{\pi}{4}+n\cdot2\pi$

$2 x = π - \frac{π}{4} + n * 2 π 2 x = \frac{4 π}{4} - \frac{π}{4} + n * 2 π 2 x = \frac{3 π}{4} + n * 2 π x = \frac{3 π}{8} + n * π$

Ja, just det!

Vilka av dessa lösningar ligger i vårt intervall?

AlvinB skrev:
Ja, just det!
Vilka av dessa lösningar ligger i vårt intervall?

Jag har ju bara fått fram en lösning? Men om jag sätter n = 0 och n =1 får jag:

$x = \frac{3 π}{8} + 0 * π = 1.178 n = 1 : x = \frac{3 π}{8} + 1 * π = 4.32$

Kollar jag i grafen är skärningspunkterna ( 1.178, 0.9), (4.32, -0.92)

Edit: slarvfel

Just det, de två skärningspunkterna är vid $x=\frac{3\pi}{8}$ och $x=\frac{11\pi}{8}$ .

Rita nu upp dessa i ett koordinatsystem tillsammans med punkten $(3,5;0,5)$ och se om du kan beräkna dess omkrets med avståndsformeln.

AlvinB skrev:
Just det, de två skärningspunkterna är vid $x=\frac{3\pi}{8}$ och $x=\frac{11\pi}{8}$ .
Rita nu upp dessa i ett koordinatsystem tillsammans med punkten $(3,5;0,5)$ och se om du kan beräkna dess omkrets med avståndsformeln.

Hur kunde du räkna ut att det blev $\frac{3 π}{8} o c h \frac{11 π}{8}$ ?

Hjärnsläpp! Hur ska jag börja göra koordinatsystemet?

Corokia cotoneaster skrev:
AlvinB skrev:
Ja, just det!
Vilka av dessa lösningar ligger i vårt intervall?
Jag har ju bara fått fram en lösning?
...

Nej. $x=\frac{3\pi}{8}+n\pi$ är inte bara en lösning. Det är en oändlig mängd lösningar. En lösning för varje värde på heltalet $n$ .

Corokia cotoneaster skrev:
AlvinB skrev:
Ja, just det!
Vilka av dessa lösningar ligger i vårt intervall?
Jag har ju bara fått fram en lösning? Men om jag sätter n = 0 och n =1 får jag:
$x = \frac{3 π}{8} + 0 * π = 1.178 n = 1 : x = \frac{3 π}{8} + 1 * π = 4.32$
Kollar jag i grafen är skärningspunkterna ( 1.178, 0.9), (4.32, -0.92)
Edit: slarvfel

Den ena borde vara minus den andra, så det blev en aning fel. Jag föreslår att du räknar ut dem med miniräknare i stället för att uppskatta i bilden. Man kan faktiskt beräkna det exakta värdet, men sådana formler kommer nog inte på gymnasiet: $\sin (3 π / 8)$ = $\frac{1}{2} \sqrt{2 + \sqrt{2}}$ .

Yngve skrev:
Corokia cotoneaster skrev:
AlvinB skrev:
Ja, just det!
Vilka av dessa lösningar ligger i vårt intervall?
Jag har ju bara fått fram en lösning?
...
Nej. $x=\frac{3\pi}{8}+n\pi$ är inte bara en lösning. Det är en oändlig mängd lösningar. En lösning för varje värde på heltalet $n$ .

Kom fram till de lite iaf när jag satte n= 0 och n = 1, så något sådant förstod jag :)

Corokia cotoneaster skrev:
AlvinB skrev:
Just det, de två skärningspunkterna är vid $x=\frac{3\pi}{8}$ och $x=\frac{11\pi}{8}$ .
Rita nu upp dessa i ett koordinatsystem tillsammans med punkten $(3,5;0,5)$ och se om du kan beräkna dess omkrets med avståndsformeln.
Hur kunde du räkna ut att det blev $\frac{3 π}{8} o c h \frac{11 π}{8}$ ?

Det har du ju beräknat själv, fast du avrundade till närmevärden.

För n = 0 så är lösningen $x=\frac{3\pi}{8}+0\cdot\pi=\frac{3\pi}{8}$

För n = 1 så är lösningen $x = \frac{3 π}{8} + 1 \cdot π = \frac{3 π}{8} + π = \frac{3 π}{8} + \frac{8 π}{8} = \frac{11 π}{8}$

Laguna skrev:
Corokia cotoneaster skrev:
AlvinB skrev:
Ja, just det!
Vilka av dessa lösningar ligger i vårt intervall?
Jag har ju bara fått fram en lösning? Men om jag sätter n = 0 och n =1 får jag:
$x = \frac{3 π}{8} + 0 * π = 1.178 n = 1 : x = \frac{3 π}{8} + 1 * π = 4.32$
Kollar jag i grafen är skärningspunkterna ( 1.178, 0.9), (4.32, -0.92)
Edit: slarvfel
Den ena borde vara minus den andra, så det blev en aning fel. Jag föreslår att du räknar ut dem med miniräknare i stället för att uppskatta i bilden. Man kan faktiskt beräkna det exakta värdet, men sådana formler kommer nog inte på gymnasiet: $\sin (3 π / 8)$ = $\frac{1}{2} \sqrt{2 + \sqrt{2}}$ .

Jag hoppas inte jag har lärt mig det där, för det där känner jag inte igen ett dugg :(

Corokia cotoneaster skrev:

Nu har du tre punkter, och därmed tre kanter mellan dem. Räkna ut en kant i taget med Pythagoras.

Yngve skrev:
Corokia cotoneaster skrev:
AlvinB skrev:
Just det, de två skärningspunkterna är vid $x=\frac{3\pi}{8}$ och $x=\frac{11\pi}{8}$ .
Rita nu upp dessa i ett koordinatsystem tillsammans med punkten $(3,5;0,5)$ och se om du kan beräkna dess omkrets med avståndsformeln.
Hur kunde du räkna ut att det blev $\frac{3 π}{8} o c h \frac{11 π}{8}$ ?
Det har du ju beräknat själv, fast du avrundade till närmevärden.
För n = 0 så är lösningen $x=\frac{3\pi}{8}+0\cdot\pi=\frac{3\pi}{8}$
För n = 1 så är lösningen $x = \frac{3 π}{8} + 1 \cdot π = \frac{3 π}{8} + π = \frac{3 π}{8} + \frac{8 π}{8} = \frac{11 π}{8}$

Ibland kan det vara sådär simpelt så att jag inte ser det! Går inte att tänka logiskt ibland..

Laguna skrev:
Corokia cotoneaster skrev:
Nu har du tre punkter, och därmed tre kanter mellan dem. Räkna ut en kant i taget med Pythagoras.

Är det inte lite fusk algebraiskt sätt att jag tog y-värdena från miniräknaren (grafen)?

Hur ska jag ställa upp pythagorassats?

Om jag vill räkna ut a, vilka värden ställer jag upp? Både x-värdet och y-värdet?

Ja, för varje par av punkter (fast de båda andra kombinatinerna blir ju b respektive c).

Corokia cotoneaster skrev:
Laguna skrev:
Corokia cotoneaster skrev:
Nu har du tre punkter, och därmed tre kanter mellan dem. Räkna ut en kant i taget med Pythagoras.
Är det inte lite fusk algebraiskt sätt att jag tog y-värdena från miniräknaren (grafen)?

Prova gärna med rotuttrycket jag skrev. I någon mening är det fusk, men jag tror inte de väntar sig ett exakt svar.

mina värden jag räknat ut stämmer inte helt med hur triangeln ser ut, alltså att den längsta sidan hos triangeln blev kortare än en annan osv. Men det beror väl på hur jag satt ut min bokstäver?

$\frac{3 π}{8} \approx 1.8 \frac{11 π}{8} \approx 4.3 a^{2} = b^{2} + c^{2} a^{2} \approx {(4.3 - 0.92)}^{2} + {(1.8 + 0.9)}^{2} a^{2} \approx 11.4 + 7.3 a^{2} \approx 18.6 a \approx \sqrt{18.6} a \approx 4.3 l . e b^{2} = a^{2} + c^{2} b^{2} \approx {(3.5 + 0.5)}^{2} + {(1.8 + 0.9)}^{2} b^{2} \approx 16 + 7.29 b^{2} \approx 23.29 b \approx \sqrt{23.29} b \approx 4.8 l . e c^{2} = a^{2} + b^{2} c^{2} \approx {(3.5 + 0.5)}^{2} + {(4.3 - 0.92)}^{2} c^{2} \approx 16 + 11.4 c^{2} \approx 27.4 c \approx \sqrt{27.4} c \approx 5.2 l . e O m k r e t s = 4.3 + 4.8 + 5.2 = 14.3 l . e$

Laguna skrev:
Corokia cotoneaster skrev:
AlvinB skrev:
Ja, just det!
Vilka av dessa lösningar ligger i vårt intervall?
Jag har ju bara fått fram en lösning? Men om jag sätter n = 0 och n =1 får jag:
$x = \frac{3 π}{8} + 0 * π = 1.178 n = 1 : x = \frac{3 π}{8} + 1 * π = 4.32$
Kollar jag i grafen är skärningspunkterna ( 1.178, 0.9), (4.32, -0.92)
Edit: slarvfel
Den ena borde vara minus den andra, så det blev en aning fel. Jag föreslår att du räknar ut dem med miniräknare i stället för att uppskatta i bilden. Man kan faktiskt beräkna det exakta värdet, men sådana formler kommer nog inte på gymnasiet: $\sin (3 π / 8)$ = $\frac{1}{2} \sqrt{2 + \sqrt{2}}$ .

Tänkte du på denna Laguna? Vad ska jag göra med den isf? Tänkte det vore snyggast om jag hade en algebraisk lösning för de två y-värdena, ist för att dom bara kommer från ingenstans :)

Corokia cotoneaster skrev:
mina värden jag räknat ut stämmer inte helt med hur triangeln ser ut, alltså att den längsta sidan hos triangeln blev kortare än en annan osv. Men det beror väl på hur jag satt ut min bokstäver?
$\frac{3 π}{8} \approx 1.8 \frac{11 π}{8} \approx 4.3 a^{2} = b^{2} + c^{2} a^{2} \approx {(4.3 - 0.92)}^{2} + {(1.8 + 0.9)}^{2} a^{2} \approx 11.4 + 7.3 a^{2} \approx 18.6 a \approx \sqrt{18.6} a \approx 4.3 l . e b^{2} = a^{2} + c^{2} b^{2} \approx {(3.5 + 0.5)}^{2} + {(1.8 + 0.9)}^{2} b^{2} \approx 16 + 7.29 b^{2} \approx 23.29 b \approx \sqrt{23.29} b \approx 4.8 l . e c^{2} = a^{2} + b^{2} c^{2} \approx {(3.5 + 0.5)}^{2} + {(4.3 - 0.92)}^{2} c^{2} \approx 16 + 11.4 c^{2} \approx 27.4 c \approx \sqrt{27.4} c \approx 5.2 l . e O m k r e t s = 4.3 + 4.8 + 5.2 = 14.3 l . e$

Nej det här stämmer inte alls.

Om a, b och c är triangelns sidlängder så gäller Pythagoras sats enbart om triangeln är rätvinklig. Din triangel verkar inte vara rätvinklig. Dessutom så gälller bara $a^2=b^2+c^2$ om a är hypotenusans längd.

Det du kan göra är att använda avståndsformeln för att beräkna avståndet mellan triangelns hörn.

För det behöver du endast hörnens koordinater.

Exempel: Om två hörn har koordinaterna $(x_A, y_A)$ och $(x_B, y_B)$ så kan du beräkna avståndet $c$ mellan dessa hörn med hjälp av avståndsformeln (som egentligen bara är Pythagoras sats): $c^2=(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2$ .

Yngve skrev:
Corokia cotoneaster skrev:
mina värden jag räknat ut stämmer inte helt med hur triangeln ser ut, alltså att den längsta sidan hos triangeln blev kortare än en annan osv. Men det beror väl på hur jag satt ut min bokstäver?
$\frac{3 π}{8} \approx 1.8 \frac{11 π}{8} \approx 4.3 a^{2} = b^{2} + c^{2} a^{2} \approx {(4.3 - 0.92)}^{2} + {(1.8 + 0.9)}^{2} a^{2} \approx 11.4 + 7.3 a^{2} \approx 18.6 a \approx \sqrt{18.6} a \approx 4.3 l . e b^{2} = a^{2} + c^{2} b^{2} \approx {(3.5 + 0.5)}^{2} + {(1.8 + 0.9)}^{2} b^{2} \approx 16 + 7.29 b^{2} \approx 23.29 b \approx \sqrt{23.29} b \approx 4.8 l . e c^{2} = a^{2} + b^{2} c^{2} \approx {(3.5 + 0.5)}^{2} + {(4.3 - 0.92)}^{2} c^{2} \approx 16 + 11.4 c^{2} \approx 27.4 c \approx \sqrt{27.4} c \approx 5.2 l . e O m k r e t s = 4.3 + 4.8 + 5.2 = 14.3 l . e$
Nej det här stämmer inte alls.
Om a, b och c är triangelns sidlängder så gäller Pythagoras sats enbart om triangeln är rätvinklig. Din triangel verkar inte vara rätvinklig. Dessuto. Så gälller bara $a^2=b^2+c^2$ om a är hypotenusans längd.
Det du kan göra är att använda avståndsformeln för att beräkna avståndet mellan triangelns hörn.
För det behöver du endast hörnens koordinater.
Exempel: Om två hörn har koordinaterna $(x_A, y_A)$ och $(x_B, y_B)$ så kan du beräkna avståndet $c$ mellan dessa hörn med hjälp av avståndsformeln (som egentligen bara är Pythagoras sats): $c^2=(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2$ .

Okej, då skka jag göra det imorrn :)

Det var det jag menade med Pythagoras. Använd den tre gånger.

Laguna skrev:
Det var det jag menade med Pythagoras. Använd den tre gånger.

Nu hänger jag inte med, Ska jag använda den 3 gånger/sida?

Nej. En gång per sida, 3 ggr totalt.

Är förvirrad nu, Ska ja använda Pythagoras sats eller avståndsformeln? :)

Avståndsformeln är Pythagoras sats.

Smaragdalena skrev:
Avståndsformeln är Pythagoras sats.

Hahaha jaha :)

Corokia cotoneaster skrev:
Smaragdalena skrev:
Avståndsformeln är Pythagoras sats.
Hahaha jaha :)

Bra, nu verkar det som om du använder avståndsformeln rätt. Men jag har inte kontrollerat dina uträkningar, delvis pga att det är oklart vad a, b och c avser.

Tips: En de facto-standard vad gäller trianglar är att hörnen betecknas med stora bokstäver A, B, C och sidorna betecknas med små bokstäver a, b, c på så sätt att sidan a är motstående (mitt emot) hörnet A, sidan b är motstående hörnet B och sidan c är motstående hörnet C.

Yngve skrev:
Corokia cotoneaster skrev:
Smaragdalena skrev:
Avståndsformeln är Pythagoras sats.
Hahaha jaha :)
Bra, nu verkar det som om du använder avståndsformeln rätt. Men jag har inte kontrollerat dina uträkningar, delvis pga att det är oklart vad a, b och c avser.
Tips: En de facto-standard vad gäller trianglar är att hörnen betecknas med stora bokstäver A, B, C och sidorna betecknas med små bokstäver a, b, c på så sätt att sidan a är motstående (mitt emot) hörnet A, sidan b är motstående hörnet B och sidan c är motstående hörnet C.
Kanske blev tydligare nu, detta är mitt kladd :)

Jag vill ta fram dom två y-värdena som jag tog ifrån grafen i miniräknaren. Men när jag sätter in mina värden på x i funktionen blir det något helt annat än det jag ska ha.. Har jag tänkt helt fel?

Upptäckte även ett värde fel jag gjort! $\frac{3 π}{8} = 1.1780 \approx 1.2$

Jag har skrivit 1.8 i mina beräkningar, har räknat om nu och fårr omkretsen till $\approx$ 7, 5 l.e :)

Du kan mäta med linjal i bilden för att se om det stämmer ungefär, men är det inte besvärligt med skalstreck på 1/3, 2/3 osv? Jag brukar använda ett antal rutor mellan heltalen som gör det lättare att räkna i huvudet var en koordinat är, oftast två, fyra, fem eller tio.

Laguna skrev:
Du kan mäta med linjal i bilden för att se om det stämmer ungefär, men är det inte besvärligt med skalstreck på 1/3, 2/3 osv? Jag brukar använda ett antal rutor mellan heltalen som gör det lättare att räkna i huvudet var en koordinat är, oftast två, fyra, fem eller tio.

Jag vet faktiskt inte varför jag gjorde så, ville väl ha mer plats att rita ska ändra om till 4 rutor. Angående y-värdena så fick jag fram dem genom att göra såhär: $\sin (\frac{3 π}{8}) = 0.92 (s t ä m m e r ö v e r e n s m e d g r a f e n i m i n i r ä k n a r e n) \sin (\frac{11 π}{8}) = - 0.92 (s t ä m m e r o c k s å ö v e r e n s)$

Nu är ju frågan hur kunde jag få fram y-värdena genom att göra så? Det blev av en ren slump att jag lyckades, Kan du förklara? (Jag hade även läst av fel y-värde för $\frac{3 π}{8}$ innan, så jag har gjort om hela beräkningen. Jag hade tagit 0.9 ist 0.92..

Corokia cotoneaster skrev:
Laguna skrev:
Du kan mäta med linjal i bilden för att se om det stämmer ungefär, men är det inte besvärligt med skalstreck på 1/3, 2/3 osv? Jag brukar använda ett antal rutor mellan heltalen som gör det lättare att räkna i huvudet var en koordinat är, oftast två, fyra, fem eller tio.
Jag vet faktiskt inte varför jag gjorde så, ville väl ha mer plats att rita ska ändra om till 4 rutor. Angående y-värdena så fick jag fram dem genom att göra såhär: $\sin (\frac{3 π}{8}) = 0.92 (s t ä m m e r ö v e r e n s m e d g r a f e n i m i n i r ä k n a r e n) \sin (\frac{11 π}{8}) = - 0.92 (s t ä m m e r o c k s å ö v e r e n s)$
Nu är ju frågan hur kunde jag få fram y-värdena genom att göra så? Det blev av en ren slump att jag lyckades, Kan du förklara? (Jag hade även läst av fel y-värde för $\frac{3 π}{8}$ innan, så jag har gjort om hela beräkningen. Jag hade tagit 0.9 ist 0.92..

Jag förstår inte riktigt vad som var en slump.

Att jag fick fram de rätta y-värdena. jag testade med beräkningar för att få fram dem algebraiskt men lyckades inte och då tryckte jag in det ovannämda i minräknaren och fick fram rätt svar. Jag hade ju absolut noll aning att man kunde göra så. Hoppas du förstår :)

Corokia cotoneaster skrev:
Att jag fick fram de rätta y-värdena. jag testade med beräkningar för att få fram dem algebraiskt men lyckades inte och då tryckte jag in det ovannämda i minräknaren och fick fram rätt svar. Jag hade ju absolut noll aning att man kunde göra så. Hoppas du förstår :)

Att miniräknaren kan ge dig ett (närme)värde på $sin(\frac{3\pi}{8}$ är inte konstigare än att den kan ge dig ett (närme)värde på $cos(50^\circ)$ , $2,5^{0,3}$ eller för den delen ett (exakt) värde på $2\cdot 3$ .

Yngve skrev:
Corokia cotoneaster skrev:
Att jag fick fram de rätta y-värdena. jag testade med beräkningar för att få fram dem algebraiskt men lyckades inte och då tryckte jag in det ovannämda i minräknaren och fick fram rätt svar. Jag hade ju absolut noll aning att man kunde göra så. Hoppas du förstår :)
Att miniräknaren kan ge dig ett (närme)värde på $sin(\frac{3\pi}{8}$ är inte konstigare än att den kan ge dig ett (närme)värde på $cos(50^\circ)$ , $2,5^{0,3}$ eller för den delen ett (exakt) värde på $2\dot 3$ .

Ne alltså det är väl inte konstigt, det är bara att jag inte förstår att själva uträkningen tar fram mitt y-värde. Visste inte att man kunde göra så. Har aldrig haft ett tal i boken där man får fram y-värdet på detta sätt bara.

Det är inte konstigt bara jag som inte förstår sambandet:(