Graferna till de två funktionerna y = 2 sin 3x och y = 4 cos 3x. (Matematik/Matte 4/Integraler och tillämpningar)

Jag skulle hittat skärningen mellan kurvorna och fått ut den övre integrationsgräsen. Sedan skulle jag integrerat de olika funktionerna och subtraherat för att få den önskade arean.

Wlff skrev:
Jag skulle hittat skärningen mellan kurvorna och fått ut den övre integrationsgräsen. Sedan skulle jag integrerat de olika funktionerna och subtraherat för att få den önskade arean.

Menar du där x är 0 eller var dem skär varandra i grafen? känns som att det är flera värden som kan uppstå och om jag förstår dessa funktioner rätt är dem väll oändliga?

Börja med att rita upp funktionerna så ser du hur området ser ut,

Ett tips är att använda grafhjälpmedel när du övar på dessa uppgifter så att du får en bild över hur det ser ut, är medveten att du inte kan göra detta på prov men kan vara bra för att skaffa förståelse.

Frågan handlar om ett slutet område med y axeln så alltså inget oändligt. Så om du kan få skärningen kan du få den övre integrationsgränsen och integrera respektive funktion. Sedan får du själv lista ut hur du ska göra för att få området som frågas efter.

Wlff skrev:

Ett tips är att använda grafhjälpmedel när du övar på dessa uppgifter så att du får en bild över hur det ser ut, är medveten att du inte kan göra detta på prov men kan vara bra för att skaffa förståelse.

Frågan handlar om ett slutet område med y axeln så alltså inget oändligt. Så om du kan få skärningen kan du få den övre integrationsgränsen och integrera respektive funktion. Sedan får du själv lista ut hur du ska göra för att få området som frågas efter.

okej men hur vet jag hur långt den första kvadranten ¨går¨ inser att jag kanske bör kunna det vid detta laget men det är aldrig något som riktigt har slagit mig. Förstår inte heller frågan helt riktigt. vill dem ha arean på hela kvadranten? och hur ska jag då veta vilket värde jag sedan ska sätta in i integralen? känns som att jag har fått helt hjärnsläpp.

Första kvadranten är där både x-värdet och y-värdet är positivt. Första kvadranten sträcker sig i princip oändligt långt åt båda håll, men det gör ingenting i det här fallet. Det står i uppgiften att området begränsas av y-axeln och de två olika funktionerna (blå och grön på bilden). Hittar du det ungefär trekantiga område som uppfyller detta? Kan du markera området på bilden och lägga upp den nya bilden?

Första kvadranten är den delen där alla x och y värden är positiva alltså den högre översta. Eftersom arean ska vara innesluten med y axeln blir det förslagsvis den första skärningspunkten mellan funktionerna i denna kvadranten. Du har helt rätt att det uppstår oändligt många skärningar men det är bara en som är aktuell. Så för att hjälpa dig lite på vägen:

Sätt:

2sin3x=4cos3x för att få fram skärningspunkterna.

Dessa punkter kommer ha ett konstant intervall i detta fall pi/3*n. I detta fallet vill du ha den punkten där n=0.

Smaragdalena skrev:
Första kvadranten är där både x-värdet och y-värdet är positivt. Första kvadranten sträcker sig i princip oändligt långt åt båda håll, men det gör ingenting i det här fallet. Det står i uppgiften att området begränsas av y-axeln och de två olika funktionerna (blå och grön på bilden). Hittar du det ungefär trekantiga område som uppfyller detta? Kan du markera området på bilden och lägga upp den nya bilden?

Detta är en rätt dålig skiss, men hittar inget annat som kan vara en trekant. Är det denna arean som dem vill ha?

Det är fel yta, läs texten i uppgiften, y-axeln och de två kurvorna... Din yta gränsar mot x-axeln

Om de hade frågat efter ett område som begränsas av den blå kurvan, den gröna kurvan och x-axeln så skulle din bild ha varit korrekt, men nu skall det vara y-axeln. Titta alldeles ovanför (och lite åt vänster om) "din" triangel!

Smaragdalena skrev:
Om de hade frågat efter ett område som begränsas av den blå kurvan, den gröna kurvan och x-axeln så skulle din bild ha varit korrekt, men nu skall det vara y-axeln. Titta alldeles ovanför (och lite åt vänster om) "din" triangel!

Jaaaa nu tror jag att jag börjar fatta. Dem villl alltså bara ha värdet som y-axeln och dem två funktionerna skapar, så det område som är över och till vänster dem vill ha då. Det är därför jag tar 4 cos3x-2sin 3x. Hur ska jag får fram algebraiskt vart första kurvan på den blåa linjen skär x-axeln?

Räknar jag ut 2 sin 3x= 0?

Se till att det är rätt område du försöker integrera. Vilket är området?

Smaragdalena skrev:
Se till att det är rätt område du försöker integrera. Vilket är området?

För att få fram arean på området som bildas måste jag ju ta 4cos3x-2sin3x. Ska jag i detta fall ta skärningen på graferna som det högre värdet i integralen? Hur får jag fram en skärpunk utan en räknare, eller borde jag använda räknare.

Kan du börja med att visa vilket område det är du vill beräkna arean för? Det är inte lönt att gå vidare om det inte är rätt område.

Smaragdalena skrev:
Se till att det är rätt område du försöker integrera. Vilket är området?

Smaragdalena skrev:
Kan du börja med att visa vilket område det är du vill beräkna arean för? Det är inte lönt att gå vidare om det inte är rätt område.

Smaragdalena skrev:
Se till att det är rätt område du försöker integrera. Vilket är området?

Oj missade helt att du vill ha en ny bild sorry.

Då har du rätt i att vi vill lösa ekvationen 4cos3x = 2sin3x. Jag skulle använda substitutionen 3x = t och sedan skriva om 2sin(t) -4cos(t) till formen Asin(t+v) och lösa ekvationen Asin(t+v) = 0.

Smaragdalena skrev:
Då har du rätt i att vi vill lösa ekvationen 4cos3x = 2sin3x. Jag skulle använda substitutionen 3x = t och sedan skriva om 2sin(t) -4cos(t) till formen Asin(t+v) och lösa ekvationen Asin(t+v) = 0.

Hur menar du nu med Asin(t+v)=0? Jag kommer inte längre än 2sin t=4cos t

Jag menar att du skall använda den här formeln

Smaragdalena skrev:
Jag menar att du skall använda den här formeln

okej då får jag ju $\sqrt{2^{2} + 4^{2}}$ $\sin (1 - v)$

Inser att jag ska ta arctan(4/2) men vet inte om jag ska använda mig av radianer eller grader här. vet i all ärlighet inte ens vad denna formeln gör, helt glömt bort.

När du integrerar (och deriverar) skall du alltid använda radianer (om det inte står något annat i uppgiften).

Smaragdalena skrev:
När du integrerar (och deriverar) skall du alltid använda radianer (om det inte står något annat i uppgiften).

okej då får jag $\sqrt{20} \cdot - 0, 1067$ ska x vara 1 eller 3? jag ändrade ju om den men känns dumt att inte ha 3 då det blir negativt.

Du får visa steg för steg hur du har kommit fram till ditt x-värde, jag är helt lost. Du kan se på bilden som Wlff la upp att x skall vara lika med ungefär 0,4.

Smaragdalena skrev:
Du får visa steg för steg hur du har kommit fram till ditt x-värde, jag är helt lost. Du kan se på bilden som Wlff la upp att x skall vara lika med ungefär 0,4.

Haha jag är också helt lost jag fattar inte vad som händer. Jag vet inte hur jag får fram skärningspunkten utan räknare. Ska jag gissa?

Smaragdalena skrev:
Då har du rätt i att vi vill lösa ekvationen 4cos3x = 2sin3x. Jag skulle använda substitutionen 3x = t och sedan skriva om 2sin(t) -4cos(t) till formen Asin(t+v) och lösa ekvationen Asin(t+v) = 0.

Har du försökt följa det här tipset?

Antag att cos(x) ej är 0 (enkelt att verifiera) så kan du dividera med cosx och då kvarstår tan(3x)=2

Dock skall du vara försiktig eftersom detta väldigt ofta leder till katastrofala fel och dåliga vanor, exempelvis man delar med 0 och då blir allting därefter nonsens.Det är nog smartare att följa Smaragdalenas metod ovan. Men det funkar att dividera med cos(x) i just detta tillfället.

Smaragdalena skrev:
Smaragdalena skrev:
Då har du rätt i att vi vill lösa ekvationen 4cos3x = 2sin3x. Jag skulle använda substitutionen 3x = t och sedan skriva om 2sin(t) -4cos(t) till formen Asin(t+v) och lösa ekvationen Asin(t+v) = 0.

Har du försökt följa det här tipset?

Jag försökte göra det tidigare men det va då jag fick ett så konstigt tal så ingen av oss fattade vad som hände riktigt.

Visa steg för steg hur du gör så kan vi hjälpa dig när/om du kör fast.

Smaragdalena skrev:
Visa steg för steg hur du gör så kan vi hjälpa dig när/om du kör fast.

Okej då har jag gjort följande. $4 \cos 3 x = 2 \sin 3 x 4 \cos x = 2 \sin x 2 \sin x - 4 \sin x = \sqrt{20} \sin (x - \tan^{- 1} (\frac{2}{4}))$ vad gör jag nu? ska x:et inom parantesen vara 1?

Du har ekvationen 4 cos3x = 2 sin3x. Börja med att byta ut 3x mot t ex t och skriv om ekvationen så att HL = 0. Då får du ekvationen 2sin(t) - 4cos(t) = 0. Använd sedan formeln $a\,\sin \, x - b\, \cos \, x= (\sqrt {a^2+b^2})\sin(x-v)$ där tan(v) = b/a och vinkeln v finns i första kvadranten. Om tan(v) = 2 är v ungefär lika med 1,107 (radianer). Vi får alltså ekvationen $\sqrt{20}\sin(x-1,107)=0$ så vi vill ha den minsta positiva lösningen till ekvationen sin(3t-1,107) = 0. Kommer du vidare?

Smaragdalena skrev:
Du har ekvationen 4 cos3x = 2 sin3x. Börja med att byta ut 3x mot t ex t och skriv om ekvationen så att HL = 0. Då får du ekvationen 2sin(t) - 4cos(t) = 0. Använd sedan formeln $a\,\sin \, x - b\, \cos \, x= (\sqrt {a^2+b^2})\sin(x-v)$ där tan(v) = b/a och vinkeln v finns i första kvadranten. Om tan(v) = 2 är v ungefär lika med 1,107 (radianer). Vi får alltså ekvationen $\sqrt{20}\sin(x-1,107)=0$ så vi vill ha den minsta positiva lösningen till ekvationen sin(3t-1,107) = 0. Kommer du vidare?

Vad hände med $\sqrt{20}$ jag fattar ingeting. den mista positiva lösningen är väl isåfall x=1,108?

$\sqrt{20}$ kan aldrig ha värdet 0, så det måste vara sinusuttrycket som har värdet 0.

Nu ser jag att jag skrev lite fel, ekvationen skall vara sin(3t-1,107) = 0. Inte underligt att du tycket det var konstigt!

Smaragdalena skrev:
$\sqrt{20}$ kan aldrig ha värdet 0, så det måste vara sinusuttrycket som har värdet 0.

Nu ser jag att jag skrev lite fel, ekvationen skall vara sin(3t-1,107) = 0. Inte underligt att du tycket det var konstigt!

så sin=0 och sen får jag alltså 3t-1,107=0 sen får jag då t=1,107/3 vilket är 0,369

Det ser väl ut att stämma med bilden?

Smaragdalena skrev:
Det ser väl ut att stämma med bilden?

Tycker ändå det, här ifrån kan jag nog lösa det själv om man inte behöver svara i exakt form?

Eftersom vi inte har fått fram ett "snyggt" värde på skärningspunkten är nog chansen väldigt nära 0 att vi skall få ett "snyggt" svar.

Smaragdalena skrev:
Eftersom vi inte har fått fram ett "snyggt" värde på skärningspunkten är nog chansen väldigt nära 0 att vi skall få ett "snyggt" svar.

så här ifrån kan jag bara räkna ut integralen?

Jag skulle tro det. Kör du fast, så fråga mer!

Smaragdalena skrev:
Jag skulle tro det. Kör du fast, så fråga mer!

Tack så jätte mycket för hjälpen iallafall!