Grafer och derivata

alexandrow skrev :

Har fastnat på en uppgift som är följande:

Grafen y=4cosx+2x har intervallet 0<x<2pi. Bestäm exakt koordinaterna för minimipunkten A.

Jag har gjort följande:

Deriverat och fått fram att x=pi/6rad alternativt 5pi/6rad. Redan här fastnar jag, vilket x värde är det som jag bör använda här och varför? Iallafall satte jag in pi/6 i den ursprungliga funktionen y=4cosx+2x och fick att y=4,51. (miniräknaren inställd på radianer). 

I facit står det att kordinaterna ska vara: (5pi/6; 5pi/3-2*$\sqrt{3}$). Hur kommer man fram till detta från att ha fått y-värdet att vara 4,51??

Du har hittat två stationära punkter i intervallet.

Men har du undersökt dessa punkters karaktär (min/max/terrass)?

(jag antar att du inte har skissat kurvan, för då skulle det vara självklart vilken punkt de efterfrågar)

Nej det har jag inte:) Det finns en bild på grafen i boken nämligen men blir lite svårt få upp den här 

$f\left(x\right)=4\cos \left(x\right)+2x$

Vilken av de två nedanstående blir minst:

$f_1\left(\frac{\pi }{6}\right)...f_2\left(\frac{5\mathrm{\pi }}{6}\right)$

alexandrow skrev :

Nej det har jag inte:) Det finns en bild på grafen i boken nämligen men blir lite svårt få upp den här 

Du bör alltid kontrollera huruvida dina stationära punkter är min-/max- eller terrasspunkter, till exempel genom att se vad andraderivatan har för värde i de punkterna, eller genom en teckentabell. 

Har löst uppgiften men fortfarande osäker.. Använde först värdet för x som pi/6 men det var tydligen fel då x värdet enligt facit som ger rätt svar är 5pi/6.

Då frågan är att man ska ge koordinaterna för funktionens minimipunkt förstår jag inte varför inte facit använt pi/6 som x värde för att ta reda på y-kordinaten? pi/6 ger väl ett mindre minimivärde än 5pi/6? Eller tänker jag helt fel? 

alexandrow skrev :

Har löst uppgiften men fortfarande osäker.. Använde först värdet för x som pi/6 men det var tydligen fel då x värdet enligt facit som ger rätt svar är 5pi/6.

Då frågan är att man ska ge koordinaterna för funktionens minimipunkt förstår jag inte varför inte facit använt pi/6 som x värde för att ta reda på y-kordinaten? pi/6 ger väl ett mindre minimivärde än 5pi/6? Eller tänker jag helt fel? 

Hej alexandrow.

1. Har du kollat andraderivatans tecken vid x = pi/6 och x = 5pi/6?
2. Har du gjort en teckentabell?
3. Har du försökt skissa grafen?

Om du inte har gjort något av ovanstående så är det rätt svårt för dig att bedöma om de stationära punkterna du hittat är min-, max- eller terrasspunkter.

 Vad menar du med att facit har använt x = pi/6 för att få fram y-värdet? Vad står det egentligen i facit?

 Så här ser kurvan ut och då ser man tydligt att den har en maxpunkt då x = pi/6 och en minpunkt då x = 5pi/6.

Andraderivatan y''(x) = -4cos(x). Det betyder att:

$y\text{'}\text{'}\left(\frac{\pi }{6}\right)=(-4)·\cos \left(\frac{\pi }{6}\right)=(-4)·\frac{\sqrt{3}}{2}=-2\sqrt{3}<0$. Detta är alltså en maxpunkt.

$y\text{'}\text{'}\left(\frac{5\pi }{6}\right)=(-4)·\cos \left(\frac{5\pi }{6}\right)=(-4)·\frac{-\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}>0$. Detta är alltså en minpunkt.

Teckentabell får du göra själv.