Grafer

Hej

Hade en liknande fråga tidigare: Rita upp kurvan ; x > 0 Rita sedan en linje mellan kurvans skärningspunkt
med y-axeln och dess skärningspunkt med x-axeln. Härvid uppkommer två st areor.
Beräkna förhållandet mellan dessa båda areor.

Undersök vad som händer om du i stället har kurvan y = 4 - 2x^2 och därefter vad som händer i det allmänna fallet y = a ̶ bx^2.

Jag började med att rita upp det, och som tidigare bildades en triangeln (A1) och ett område mellan parabeln och linjen (A2).

För att räkna ut basen av triangeln tog jag:

$4 - 2 x^{2} = 0$

$\sqrt{2} = x$

A1 = $\sqrt{2} * 4 / 2$

Som jag lärde mig tidigare så behåller jag det exakta värdet.

A2= $\int_{0}^{\sqrt{2}} (4 - 2 x^{2}) d x = [4 x - 2 x^{3} / 3] = 4 \sqrt{2} - 2 (\sqrt{2)^{3}} = 12 \sqrt{2} - 2 (\sqrt{2})^{3} / 3$

Hur ska jag lösa den när det är ${\sqrt{2}}^{3}$ men behålla det exakta värdet. Ska jag göra om det till: $\sqrt{2} = 2^{0, 5}$ ?

Uttrycket $4\sqrt{2}-\frac{2}{3}(\sqrt{2})^3$ kan skrivas

$4\sqrt{2}-\frac{2}{3}2\sqrt{2} = (4-\frac{4}{3})\sqrt{2} = \frac{8}{3}\sqrt{2}$

eftersom $(\sqrt{2})^3 = (\sqrt{2})^2\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$ .

Viktorini skrev:
...
Hur ska jag lösa den när det är ${\sqrt{2}}^{3}$ men behålla det exakta värdet. Ska jag göra om det till: $\sqrt{2} = 2^{0, 5}$ ?

Ja.

Om $a\geq 0$ så gäller alltid att $(\sqrt{a})^{3} = (\sqrt{a})^{2} \cdot \sqrt{a} = a \sqrt{a}$

Okej. Jag förlänger både arean för A1 och A2 till en gemensam nämnare och får:

A1 = $\sqrt{2} * 12 / 6$

A2= $\sqrt{2} * 16 / 6$

Så förhållandet mellan A2/A1 = 4/3 ??

Viktorini skrev:
Okej. Jag förlänger både arean för A1 och A2 till en gemensam nämnare och får:
A1 = $\sqrt{2} * 12 / 6$
A2= $\sqrt{2} * 16 / 6$
Så förhållandet mellan A2/A1 = 4/3 ??

A1 är rätt men inte A2.

Du har beräknat A2 att vara hela arean under parabeln, men du ska väl subtrahera triangeln som i den andra uppgiften?

Juste, glömde!

Då blir det att A1 är tre gånger så stor som A2!

Om jag ska lösa det allmänna fallet så har jag gjort såhär:

A1 = $(\sqrt{a / b} * a) / 2$

A2= $\int_{0}^{\sqrt{a / b}} (a - b x^{2}) d x = [a x - b x^{3} / 3] = a \sqrt{a / b} - (b (\sqrt{a / b})^{3} / 3)$

Jag vet inte riktigt hur jag ska lösa vidare A2?

Viktorini skrev:
Om jag ska lösa det allmänna fallet så har jag gjort såhär:
A1 = $(\sqrt{a / b} * a) / 2$
A2= $\int_{0}^{\sqrt{a / b}} (a - b x^{2}) d x = [a x - b x^{3} / 3] = a \sqrt{a / b} - (b (\sqrt{a / b})^{3} / 3)$
Jag vet inte riktigt hur jag ska lösa vidare A2?

Jag säger samma sak igen: A1 är rätt men inte A2.

Du har beräknat A2 att vara hela arean under parabeln, men du ska väl subtrahera triangeln som i den andra uppgiften?

-----

Och som svar på din fråga:

Integralens värde, dvs arean under parabeln, kan skrivas $\frac{a\sqrt{a}}{\sqrt{b}}-\frac{b}{3}\frac{a\sqrt{a}}{b\sqrt{b}}$ .

Förläng nu första termen med 3 så att termerna blir liknämniga.

Kommer du vidare då?

Svara

Visa senaste svar