Grafer
Jag har lite svårt att läsa ur bilden för andragradaren. Jag vet att den är positiv då det är en glad mun.
Generell formel för andragradare:
ax^2 + bx + c
Den har i all fall inget c-värde då den skär origo.
Men hur kan jag göra sen?
Vad för ytterligare information kan man få från att andragradarens symmetrilinje är y-axeln?
Det enda jag kommer på är det jag skrivit redan. Kommer inte på något
Om din andragradare har y-axeln som symmetrilinje så kan den generellt skrivas som ax^2+c (alltså är b=0). Som du redan har påstått så finns inte heller något c värde. Andragraden kommer alltså vara på formen ax^2.
Så om det är symmetri så finns det inget b-värde?
offan123 skrev:Så om det är symmetri så finns det inget b-värde?
NEJ! En andragradare har ALLTID en symmetrilinje, MEN om symmetrilinjen är y-axeln så har den inget b-värde.
Du behöver inte bestämma några funktioner. Meningen är att du ska använda kedjeregeln tillsammans med graferna i bilden för att besvara frågan.
h(x)=f(g(x))
Vad är h'(x) enligt kedjeregeln?
(Det ska stå h’(x)).
Men hur gör man med f’(g(x))? Jag vet vad f’(x)=2x. Men g(x) behöver jag lista ut. Vi kom fram till att g(x) är ax^2, frågan är ju då vad a är?
Det är enklare än du tror. Du behöver inte ta fram några funktionsuttryck.
Det är korrekt att:
h'(x) = f'(g(x)) * g'(x)
(du glömde fnutten efter h men förstår att du menar h'(x))
Nu ska du beräkna h'(2). Eftersom
h'(x) = f'(g(x)) * g'(x) så är
h'(2) = f'(g(2)) * g'(2)
Nu kan du läsa av g(2) i diagrammet. Det är argumentet till f'(x). Och då kan ju den läsas av.
Du kan också läsa av g'(2) i diagrammet.
Är du med?
Jag är med. Men det borde bli 25 men får 20.
g’(2)= 3. (Skrev fel)
Du ska läsa av f'(x) i grafen också. Inga framtagna funktioner,
h'(2) = f'(g(2)) * g'(2) = f'(4) * 3 = 8*3 = 24
om jag läste av rätt
Jo, 24 ska det bli
Det jag fastnar på är den här delen:
f'(g(2))
Betyder inte den att jag för alla x-ställen för f’(x) ska lägga in mitt värde för g(2)=4?
behlcer inte jag då en funktion med x för att kunna göra det?
f'(g(2)) betyder "beräkna f'(x) för x=g(2)"
Alltså att vi först sätter in 2 i g(x), dvs g(2). Nu har vi inte funktionen men vi har grafen så vi läser av att g(2)=4
Då har vi f'(4). Och den läser vi av på samma sätt.
En funktion måste inte vara ett uttryck. Det kan vara en graf eller en tabell lika gärna så länge som vi kan få ut ett f(x) för varje x funktionen är definierad för.
Yes, fattar nu.
På b) hur ställer man upp?
Är det rätt vid den andra faktorn?
Nej, "1 genom" är en funktion den också så det blir kedjeregeln i två steg. För att använda kedjeregeln är det i början bra att alltid skriva om funktionen som "funktion av funktion". Men här är det tre funktioner:
Kedjeregeln ser ut så här:
h(x) = f(g(x))
h'(x) = f'(g(x)) * g'(x)
I detta fall:
h(x)=f(1/g(x))
Vi vill ha den på formen
h(x)=f(z(g(x)))
z(x) = 1/x
Tog z() för att det var en ledig bokstav. Nu är det på formen "funktion av funktion" eller snarare "funktion av funktion av funktion"
Vi kontrollerar omskrivningen med z(x)=1/x:
h(x)=f(z(g(x)))=f(1/g(x))
så det stämmer. Om det känns jobbigt med z(x)=1/x kan du istället tänka med z(u)=1/u.
Nu är vi redo att sätta in. Jag lägger resten i en spoiler eftersom det är ett ganska svårt tal.
Visa spoiler
Kedjeregeln kan uttökas i flera steg. Med våra tre funktioner blir det:
h'(x)=f'(z(g(x))) * z'(g(x))) * g'(x)
Vi behöver derivatan av z(x)
z'(x)=-1/(x^2)
Sen sätter man tillbaka de funktioner vi har, i detta fall endast z(x):
h'(x)=f'(1/(g(x)) * (-1) * g(x)^2 * g'(x)
h'(1) beräknas sen på samma sätt som du gjorde i a)
Kedjeregeln ser ut så här:
h(x) = f(g(x))
h'(x) = f'(g(x)) * g'(x)
I detta fall:
h(x)=f(1/g(x))
Vi vill ha den på formen
h(x)=f(z(g(x)))
z(x) = 1/x
Min fråga: Varför är det tre funktioner när vi hade två till en början?
Därför att "1 genom" också är en funktion.
1/x har derivatan -1/x^2 och måste tas hänsyn till.
Man kan få fram kedjeregeln för tre funktioner med vanliga kedjeregeln:
Kedjeregeln (andra bokstäver för att inte blanda ihop med talet):
q(x) = a(b(x))
q'(x) = a'(b(x)) * b'(x)
Men vad händer om b(x)=c(d(x))? Då måste ju b'(x) enligt kedjeregeln vara:
b'(x)=c'(d(x)) * d'(x)
Om vi således har:
q(x) = a(c(d(x)))
så blir derivatan:
q'(x) = a'(b(x)) * c'(d(x)) * d'(x)
Detta kan göras i hur många steg som helst, till exempel:
f(x)=a(b(c(d(e(x)))))
f'(x) = a'(b(c(d(e(x))))) * b'(c(d((e(x)))) * c'(d(e(x))) * d'(e(x)) * e'(x)
När man blivit van ser man delfunktionerna och skriver inte upp dem för sig. Men för att vara tydlig i ett exempel:
Hur kan jag utnyttja graferna på bilden?
(Finns ett fel i spoilern i #16, derivatan av 1/x är ju förstås -1/x^2) och inget annat)
Nu kan du sätta in värdena inifrån.
Aha, tack för hjälpen
