grafen visar (Matematik/Matte 5)

Arean A beror på x så vi har att arean A = A(x).

Hur har du tänkt?

Här du en känsla för vilka värden på x som är möjliga?

Yngve skrev :
Arean A beror på x så vi har att arean A = A(x).
Hur har du tänkt?
Här du en känsla för vilka värden på x som är möjliga?

värdemängden är hur mycket y värdet får vara

och definitionsmängden x värdet får vara

Vad nenar du ned 1? Är 1 det enda möjliga värdet på x för att det ska bli en rektangel?

EDIT - Nu flrstår jag kanske varför du trodde att x ska vara lika med 1. Glöm det där med A = A(x).

Källa istället areafunktionen för g(x).

Du har alltså att arean A = g(x).

Yngve skrev :
Vad nenar du ned 1? Är 1 det enda möjliga värdet på x för att det ska bli en rektangel?

nej asså glöm det jag skrev, men i och med att rektangeln har fyra sidor, och två är lika långa borde väll..

Ja? Borde väl vad?

Yngve skrev :
Ja? Borde väl vad?

ja asså de är fyra, och varje två är lika långa, men sen vet jag inte mer

1. Hur beräknar man arean för en rektangel?

2. Du har en rektangel där ett hörn ligger i origo, två hörn på koordinataxlarna och det fjärde hörnet på kurvan $y = x^2 - 45x + 638,25$ . Rektangeln måste vara helt och hållet under kurvan, så det är inte möjligt att välja för stora värden på x. Vilket är det största möjliga x-värdet?

3. Vad är arean av en rektangel där den ena sidan är x och den andra är f(x)?

smaragdalena skrev :
1. (basen*höjden)/ 2
2. X=1 eller X= 2
3. f(x) *x / 2

1. Nej. Du verkar tänka på entriangel.

2. Motivera!

3. Se fråga 1.

smaragdalena skrev :
1. Nej. Du verkar tänka på entriangel.
2. Motivera!
3. Se fråga 1.

vad är entriangel?

2. för när jag kollar på grafen ser jag att (det är inte numrerat) men man kan ju uppskatta att det är antingen x=1 eller x=2

En triangel är en trehörning. Det borde du komma ihåg sedan lågstadiet.

Bilden är inte graderad. Vilken x-koordinat ger det lägsta y-värdet? Räkna!

smaragdalena skrev :
En triangel är en trehörning. Det borde du komma ihåg sedan lågstadiet.
Bilden är inte graderad. Vilken x-koordinat ger det lägsta y-värdet? Räkna!

ber om ursäkt!

den ger väll två? jag förstod din fråga så iallafall

Nej. Vet du hur du skall få fram minimum för kurvan $f(x)= x^2 - 45x+638,25$ ?

Derivera och sätt derivatan = 0, räkna ut x.

smaragdalena skrev :
Nej. Vet du hur du skall få fram minimum för kurvan $f(x)= x^2 - 45x+638,25$ ?
Derivera och sätt derivatan = 0, räkna ut x.

derivera:

d/dx [x^2 - 45x+ 638,25]

rätt så?

Ja, du ska derivera den där funktionen, sedan letar du efter för vilket x värde du får att f'(x) = 0. Detta är det största x värdet i definitionsmängden, detta eftersom om x värdet blir större än så, så kommer rektangeln att ligga ovanför kurvan.

Stokastisk skrev :
Ja, du ska derivera den där funktionen, sedan letar du efter för vilket x värde du får att f'(x) = 0. Detta är det största x värdet i definitionsmängden, detta eftersom om x värdet blir större än så, så kommer rektangeln att ligga ovanför kurvan.

ja och efter att jag deriverat fick jag d/dx [x^2 - 45x+ 638,25]

ska jag då byta ut x i uttrycket ovan mot 0?

Fast det där är bara ett annat sätt att skriva derivatan på, du har så att säga inte utfört själva deriveringen. Om du deriverar x^2 - 45x + 638.25 så ska du få 2x - 45. Om du är med på det så ska du lösa ekvationen 2x - 45 = 0 för att hitta för vilket x värde du har ett minimum.

Stokastisk skrev :
Fast det där är bara ett annat sätt att skriva derivatan på, du har så att säga inte utfört själva deriveringen. Om du deriverar x^2 - 45x + 638.25 så ska du få 2x - 45. Om du är med på det så ska du lösa ekvationen 2x - 45 = 0 för att hitta för vilket x värde du har ett minimum.

2x-45=0

2x= 45

x= 22,5

alltså är väll det på x=22,5 som jag har en minimipunkt??

var det allt?

Nej det var inte allt. Du ska alltså svara på

a) Vad är definitionsmängden

b) Vad är värdemängden

Hittills har du inte svart på någon av dessa. Du har hittat det största x värdet i definitionsmängden, dvs x = 22.5. Vad är det minsta värdet i definitionsmängden?

Stokastisk skrev :
Nej det var inte allt. Du ska alltså svara på
a) Vad är definitionsmängden
b) Vad är värdemängden
Hittills har du inte svart på någon av dessa. Du har hittat det största x värdet i definitionsmängden, dvs x = 22.5. Vad är det minsta värdet i definitionsmängden?

alltå minska i y axeln?

hur får jag ut det ?

Definitionsmängden är vilka x värden som är "okej" för area funktionen. Så det minsta x värdet som är okej för att beräkna arean på rektangeln är det minsta x värdet i definitionsmängden.

Stokastisk skrev :
Definitionsmängden är vilka x värden som är "okej" för area funktionen. Så det minsta x värdet som är okej för att beräkna arean på rektangeln är det minsta x värdet i definitionsmängden.

what? nu hänger jag inte med riktigt..

de vill ju ha definitionsmängden är det inte 22,5 som vi räknade ut?

Definitionsmängden är (i detta fall) ett helt intervall, det är inte bara en enskild punkt. Ett exempel på ett värde som inte ligger i definitionsmängden är x = -100, detta värde ligger inte i definitionsmängden eftersom då har du inte två hörn på de positiva axlarna. Ett annat värde som ligger i definitionsmängden är x = 1, detta eftersom du då kan forma en rektangel enligt beskrivningen. Så definitionsmängden är alltså alla punkter som det är okej att beräkna rektangeln för.

men hur skulle du ha löst dessa två uppg? känns som om det blir mer prat än någon riktig utträknign

Ja, det blir inte så jätte mycket uträkning för definitionsmängden.

a) Jag skulle gjort som du gjort nu, bestämt x koordinaten för minimipunkten för kurvan x^2 - 45x + 638.25. Sedan skulle jag bara konstatera att jag måste välja ett x som är större än 0 eftersom hörnet av rektangeln måste ligga på positiva x-axeln. Alla x värden där i mellan är okej, så därför blir definitionsmängden $0 < x \leq 22.5$ .

b) Värdemängden är alla värden arean kan anta på definitionsmängden, så man får göra så här.

1. Teckna ett uttryck för arean A i termer av x.

2. Hitta det största och mista värdet för A på intervallet $0 < x \leq 22.5$ .

3. Alla värden mellan det största och minsta värdet som A antar, är värdemängden.

Stokastisk skrev :
Ja, det blir inte så jätte mycket uträkning för definitionsmängden.
a) Jag skulle gjort som du gjort nu, bestämt x koordinaten för minimipunkten för kurvan x^2 - 45x + 638.25. Sedan skulle jag bara konstatera att jag måste välja ett x som är större än 0 eftersom hörnet av rektangeln måste ligga på positiva x-axeln. Alla x värden där i mellan är okej, så därför blir definitionsmängden $0 < x \leq 22.5$ .
b) Värdemängden är alla värden arean kan anta på definitionsmängden, så man får göra så här.
1. Teckna ett uttryck för arean A i termer av x.
2. Hitta det största och mista värdet för A på intervallet $0 < x \leq 22.5$ .
3. Alla värden mellan det största och minsta värdet som A antar, är värdemängden.

A= F(x)

är ovane tt korrekt reknat uttryck

Du ska alltså ta höjden för rektangeln multiplicerat med bredden på den för att få arean. Om du kollar på bilden så ser du att höjden är f(x) = x^2 - 45x + 638.25, och bredden på den är x. Så arean är alltså produkten av detta.

Stokastisk skrev :
Du ska alltså ta höjden för rektangeln multiplicerat med bredden på den för att få arean. Om du kollar på bilden så ser du att höjden är f(x) = x^2 - 45x + 638.25, och bredden på den är x. Så arean är alltså produkten av detta.

och är arean jag får fram värdemängden för areafunktionen A??

Nej, värdemängden är alltså en mängd av olika värden. Det är mängden av alla värden som arean kan anta. För att bestämma denna så ska du alltså

1. Bestämma ett uttryck för arean.

2. Beräkna maximum och minimum för A på intervallet 0 < x <= 22.5

3. Alla värden mellan det minsta värdet A antar och det största värdet A antar, är värdemängden.

Så det är alltså vid steg 3 du får fram värdemängden.

hur ser uttrycker för arean ut? A=f(x) ?

Du har alltså att höjden på rektangeln är x^2 - 45x + 638.25 och bredden är x. Detta innebär att arean är

A(x) = (x^2 - 45x + 638.25)x = x^3 - 45x^2 + 638.25x

Nu ska du alltså bestämma minimum och maximum på intervallet 0 < x <= 22.5.

Stokastisk skrev :
Du har alltså att höjden på rektangeln är x^2 - 45x + 638.25 och bredden är x. Detta innebär att arean är

Nu ska du alltså bestämma minimum och maximum på intervallet 0 < x <= 22.5.

A(x) = (x^2 - 45x + 638.25)x = x^3 - 45x^2 + 638.25x

ska jag lägga in 0 först och sen få ut ett svar och sen samma fast byta ut 22,5 mot x?

För att hitta maximum och minimum så ska du derivera och lösa ekvationen A'(x) = 0. Sedan ska du undersöka om A(x) är större eller mindre vid ändpunkterna (alltså där x = 0 och där x = 22.5) på intervallet, än den är vid ställena där A'(x) = 0. Du ska då hittat fyra stycken potentiella ställen där du kan finna maximum eller minimum, dvs två vid ändpunkterna och två där A'(x) = 0. Det största av värdena är maximumet A antar och det minsta av dessa är minimumet A antar.

Stokastisk skrev :
För att hitta maximum och minimum så ska du derivera och lösa ekvationen A'(x) = 0. Sedan ska du undersöka om A(x) är större eller mindre vid ändpunkterna (alltså där x = 0 och där x = 22.5) på intervallet, än den är vid ställena där A'(x) = 0. Du ska då hittat fyra stycken potentiella ställen där du kan finna maximum eller minimum, dvs två vid ändpunkterna och två där A'(x) = 0. Det största av värdena är maximumet A antar och det minsta av dessa är minimumet A antar.

kan vi ta det steg för steg?

elevensombehöverhjälp skrev :
Stokastisk skrev :
För att hitta maximum och minimum så ska du derivera och lösa ekvationen A'(x) = 0. Sedan ska du undersöka om A(x) är större eller mindre vid ändpunkterna (alltså där x = 0 och där x = 22.5) på intervallet, än den är vid ställena där A'(x) = 0. Du ska då hittat fyra stycken potentiella ställen där du kan finna maximum eller minimum, dvs två vid ändpunkterna och två där A'(x) = 0. Det största av värdena är maximumet A antar och det minsta av dessa är minimumet A antar.
kan vi ta det steg för steg?

Absolut, steg ett är att derivera A(x) och ställa upp ekvationen A'(x) = 0 (och lösa den).

alltås ska jag derivera A*(x) =0 ?

Ja, du ska derivera funktionen A(x) = x^3 - 45x^2 + 638.25x.

Stokastisk skrev :
Ja, du ska derivera funktionen

derivera funktionen: A(x) = x^3 - 45x^2 + 638.25x

x^3−45x^2+(2553x)/ 4

rätt så?

Nej, du skall derivera funktionen. Det har du inte gjort.

derivera:

A(x) = x^3 - 90x + 638.25

vad ska jag föra med x^3 har deriverat de andra

Nej det blev inte riktigt rätt. Derivatan för x^n är ju nx^(n - 1). Så här har du ju exempelvis att derivatan för x^3 är 3x^2, derivatan för x^2 är 2x och derivatan för x = x^1 är 1*x^(1 - 1) = 1. Detta innebär därför att derivatan för A(x) är

A'(x) = 3x^2 - 45*2x + 638.25*1 = 3x^2 - 90x + 638.25

Så ställer du upp ekvationen A'(x) = 0 så får du en andragradsekvation som du måste lösa.

Stokastisk skrev :
Nej det blev inte riktigt rätt. Derivatan för x^n är ju nx^(n - 1). Så här har du ju exempelvis att derivatan för x^3 är 3x^2, derivatan för x^2 är 2x och derivatan för x = x^1 är 1*x^(1 - 1) = 1. Detta innebär därför att derivatan för A(x) är
A'(x) =
Så ställer du upp ekvationen A'(x) = 0 så får du en andragradsekvation som du måste lösa.

0= 3x^2 - 90x + 638.25

x1= 23/2 och x2= 37/2

rätt så?

Ja. Nu skall du räkna ut y-värdena för de båda extrempunkterna och för intervallets ändpunkter.

Ja det är korrekta lösningar. Nästa steg är att beräkna A(23/2) och A(37/2).

Stokastisk skrev :
Ja det är korrekta lösningar. Nästa steg är att beräkna

A(23/2)=

A(37/2)= lägga in den 3x^2 - 90x + 638.25??

Nej, du skall sätta in värdena i $A(x) = x^3 - 45x^2 + 638.25x$ .

elevensombehöverhjälp skrev :
Stokastisk skrev :
Ja det är korrekta lösningar. Nästa steg är att beräkna
A(23/2)=x^3−45x^2+638.25x
A(37/2)= x^3−45x^2+638.25x

Vad får du för värden om du stoppar in 11,5 respektive 18,5 i A(x)? Om du stoppar in x = 0? Vad ger x = 22,5?

smaragdalena skrev :
Vad får du för värden om du stoppar in 11,5 respektive 18,5 i A(x)? Om du stoppar in x = 0? Vad ger x = 22,5?

A(11.5)=11,5^3−45*11,5^2+638.25*11,5

A(11,5)= 2909,5

A(18,5)= 18,5^3−45*18,5^2+638.25*18,5

A(18,5)= 2738

Om jag stoppar i x=0

A(0) = 0^3−45*0^2+638.25*0

A(0)=0

om jag stoppar in 22,5

A(22,5) = 22,5^3−45*22,5^2+638.25*22,5

A(22,5)= 2970

Vilket är det största värdet A(x) kan ha? Det är ett av de fyra värden du har räknat ut.

Vilket är det minsta värdet A(x) kan ha? Det är ett av de fyra värden du har räknat ut.

Värdemängden är dessa värden och alla däremellan.

Det är väll:

0< 2909,5

Det största som värde A(x) kan ha är 22,5 och det minsta värdet som A(x) kan ha är 0

så kan jag skriva att värdemängden är x < eller lika med 0 och x< eller lika med 22,5

hoppas det är rätt nu

Egentligen finns det inget minsta värde vare sig på x eller på arean.

De undre gränserna för definitionsmängden och värdemängden bör vara x > 0 och A(x) > 0, alltså strikta olikheter.

Yngve skrev :
Egentligen finns det inget minsta värde vare sig på x eller på arean.
De undre gränserna för definitionsmängden och värdemängden bör vara x > 0 och A(x) > 0, alltså strikta olikheter.

förstå inte? vad ska svaret bli på a respektive b?

Jag har inte kollat uträkningarna för areans övre gräns. Men i övrigt ska det vara så här:.

Definitionsmängd:

0 < x <= 22,5

Värdemängd:

0 < Area <= "övre gräns"

elevensombehöverhjälp skrev :
smaragdalena skrev :
Vad får du för värden om du stoppar in 11,5 respektive 18,5 i A(x)? Om du stoppar in x = 0? Vad ger x = 22,5?
A(11.5)=11,5^3−45*11,5^2+638.25*11,5
A(11,5)= 2909,5
A(18,5)= 18,5^3−45*18,5^2+638.25*18,5
A(18,5)= 2738

jag satte in värdena enligt ovan för att få ut det minsta respektive högsta värdet A(x) kan vara, ser du något samband?

smaragdalena skrev :
Vilket är det största värdet A(x) kan ha? Det är ett av de fyra värden du har räknat ut.
Vilket är det minsta värdet A(x) kan ha? Det är ett av de fyra värden du har räknat ut.
Värdemängden är dessa värden och alla däremellan.

Det största värdet är 22,5

och det minsta är 0

men om jag skriver intervall för värdemängden blir den ju lika definitonsmängden,,, < x <22,5

eller är jag fel på det?

Det minsta värdet A(x) kan ha är 0+ (det kan inte bli 0 eftersom en rektangel måste ha en kortsida också, som inte är 0).

Det största värdet A(x) kan ha är antingen A(11,5) = 2909,5 eller A(18,5) = 2738 eller möjligen A(22,5) fast tittar man på bilden ser det otroligt ut. Alltså är värdemängden $0 < A (x) \leq 2909, 5$ .