Grafen och andraderivatan

Det du skriver är korrekt. Så kan du peka på i alla fall en punkt där det önskade gäller? 

f''(x) < 0 betyder att lutningen minskar. För vilka delar av kurvan är det så? 

Du kan tänka så här: Andraderivatan beskriver förstaderivatans lutning.

Börja med att rita en graf som ungefärligt visar förstaderivatan f'(x).

Från den givna grafen kan du se i vilka områden f'(x) > 0, var f'(x) < 0 och i vilka punkter som f'(x) = 0.

Sedan kan du grovt skissa andraderivatan.

Är det något i denna stil? När jag ritat andraderivatan (som blir en rät linje) ska jag då titta vart linjen korsar x-axeln för att övergå i negativa y-värden?

Om man inte gör detta grafiskt utan bara utgår från att andraderivatan beskriver förstaderivatan, hur gör man då? Andraderivatan beskriver ju i detta fall att det ska röra sig om ett maximi i funktionen vilket är där x=0,5, kan man ta det därifrån?

Leonhart skrev:

Är det något i denna stil? När jag ritat andraderivatan (som blir en rät linje) ska jag då titta vart linjen korsar x-axeln för att övergå i negativa y-värden?

Snyggt! Men ursprungsgrafen ser inte ut så.

Gör motsvarande för ursprungsgrafen och hela den.

Yngve skrev:

Snyggt! Men ursprungsgrafen ser inte ut så.

Gör motsvarande för ursprungsgrafen och hela den.

Menar du tredjegradsfunktionen? Men den finns på själva uppgiften, då är det väl inte nödvändigt att rita den eller?

Aha det var förstaderivatan du ritade. Ja då stämmer det. Men du bör rita både första- och andraderivatan över hela intervallet för att besvara frågan 

Jag skulle också ha som arbetshypotes att kurvan är en tredjegradskurva och därmed andraderivatan en linjär funktion, men det står inte att det är så. Uppgiften går att lösa ändå.

Yngve skrev:

Aha det var förstaderivatan du ritade. Ja då stämmer det. Men du bör rita både första- och andraderivatan över hela intervallet för att besvara frågan 

Jag har ritat förstaderivatan samt andraderivatan (förlåt om bilden var otydlig), jag tänkte att andradeirvatan är en rät linje med negativ lutning då parabeln har ett maximi. Parabelns x-värde för maximi är där den räta linjen f''(x) korsar x-axeln. Men hur tar jag mig vidare för att lösa uppgiften?

Menar du tredjegradsfunktionen? Men den finns på själva uppgiften, då är det väl inte nödvändigt att rita den eller?

Om du ritar in första- och andraderivatan i samma bild som f(x) är det inte nödvändigt att rita om f(x). Meningen är alltså att du skallkunna studera alla tre kurvorna samtidigt.

Leonhart skrev:

Men hur tar jag mig vidare för att lösa uppgiften?

Gör som jag skrev i mitt förra svar, rita förstaderivatan och andraderivaran över hela det intressanta intervallet, dvs från x = -3 till x = 2.

Visa bilden här så kan vi hjälpa dig att resonera fram lösningen.

När jag försöker rita utifrån det intervall som du säger är den relevanta får jag samma bild som tidigare? Jag har lagt parabelns nollställen i x=-3 och x=0,5, men vart kommer x=2 från?

Notera att de frågar efter det/de intervall där både $f(x)>0$ och $f''(x)<0$.

Egentligen är det därför bara område A och område B som är intressanta eftersom det endast är där som $f(x)>0$. 

Men i din graf har du inte med område A alls och bara en del av område B.

Så det du bör ha med i dina grafer är alla $x\leq1$, men jag tänker att det är bra att ta i lite extra. Därav $x\leq2$ (men jag borde inte ha begränsat $x$ nedåt).

Jag känner mig lite borta nu, det blir samma sak. Jag tänkte att parabeln visar förstaderivatan av tredjegradsfunktionen, dess nollställen är extrempunkterna på den primitiva funktionen. x=-2 är så långt vänster man kan komma och därav kan jag inte få den att passa in i A-intervallet. Den räta linjen är tänkt att vara andraderivatan. Förlåt för att det blir så utdraget men jag förstår inte vilket fel jag gör.

Så här:

1. f(x) har en minpunkt vid ungefär x = -2 och en maxpunkt vid ungefär x = 0,5.
2. Det innebär att derivatan, dvs f'(x), har nollställen vid ungefär x = -2 och x = 0,5.
3. Om vi antar att f(x) är en tredjegradsfunktion så är derivatan f'(x) en andragradsfunktion. Grafen till derivatan är då en parabel med maxpunkt mitt emellan nollställena, dvs vid ungefär x = -0,75.
4. Om derivatan f'(x) är en andragradsfunktion så är andraderivatan, dvs f''(x) en linjär funktion. Grafen till andraderivatan är då en rät linje med nollställe ungefär vid x = -0,75.
5. Det innebär att f''(x) > 0 då x < -0,75 och att f''(x) < 0 då x > -0,75.
6. Vi har att f(x) > 0 i område A, dvs då x < -3,125 (ungefär).
7. Vi har även att f(x) > 0 i område B, dvs då -0,125 < x < 1 (ungefär).
8. I övriga områden, dvs C, D och E, är f(x) < 0.

Är det något av ovanstående som du inte är med på?

-----------

Nu ställer vi upp det vi vet:

• Område A (x < -3,125): f(x) > 0 och f''(x) > 0
• Område C (-3,125 < x < -0,75): f(x) < 0 och f''(x) > 0
• Område D (-0,75 < x < -0,125): f(x) < 0 och f''(x) < 0
• Område B (-0,125 < x < 1): f(x) > 0 och f''(x) < 0
• Område E (x > 1): f(x) < 0 och f''(x) < 0

Tack så mycket för en pedagogisk förklaring jag förstår nu betydligt bättre och jag hänger med på alla punkter du skrev. Utifrån det sista du ställer upp bör det innebära att för de x där f''(x)<0 samt f(x)>0, gäller endast intervallet i område B (-0,125 < x < 1)? För örigt undrar jag om det var nödvändigt för dig att sist skriva vad andraderivatan blir i C, D och E i och med att de borde uteslutas redan i början när de inte uppfyller kravet för f(x)>0?

Leonhart skrev:

Tack så mycket för en pedagogisk förklaring jag förstår nu betydligt bättre och jag hänger med på alla punkter du skrev. Utifrån det sista du ställer upp bör det innebära att för de x där f''(x)<0 samt f(x)>0, gäller endast intervallet i område B (-0,125 < x < 1)?

Ja det stämmer. Problemet med dina figurer var att du endast tog med delar av område B. Det verkade som om du trodde att det ena villkoret var f'(x) > 0 istället för f(x) > 0.

För örigt undrar jag om det var nödvändigt för dig att sist skriva vad andraderivatan blir i C, D och E i och med att de borde uteslutas redan i början när de inte uppfyller kravet för f(x)>0?

Jag kände att det var nödvändigt att ge dig en fullständig förklaring av hur f(x), f'(x) och f''(x) beter sig eftersom mina tidigare ledtrådar och tips inte riktigt fick önskad effekt.