Graf ritning- surjektiv & injektiv (Matematik/Universitet)

Hej.

Låt målmängderna vara $\mathbb{R}$ och skissa graferna till de tre funktionerna

$f(x)=x$
$g(x)=x^2$
$h(x)=\sqrt{x}$
$k(x)=x^3-3x$

Rita nu vågräta linjer på olika höjd och använd antalet möjliga skärningspunkter för att avgöra injektivitet/surjektivitet för de fyra funktionerna.

Ibland kallas det dubbla linjaltestet! :)

har gjort för f och g nu me förstår inte riktigt hur du menar med att rita in linjer:(

om man exempelvis jämför f och g ser man ju att vf är begränsad för g till posetiva R.

Samt att får h blir den ej definerad då x antar negativa värden.

Maddefoppa skrev:
har gjort för f och g nu me förstår inte riktigt hur du menar med att rita in linjer:(

Jag menar vågräta (horisontella) linjer. Det de skriver om i din bok:

Om varje vågrät linje som motsvarar ett element i målmängden (alltså inte värdemängden) skär grafen på högst ett ställe så är funktionen injektiv.
Om varje vågrät linje som motsvarar ett element i målmängden (alltså inte värdemängden) skär grafen på minst ett ställe så är funktionen surjektiv.

Vi kan börja med $f(x)=x$

Jag har ritat grafen till $y=f(x)$ (röd) och ett par godtyckliga vågräta linjer (blåa).

Du ser att dessa skär grafen på exakt ett ställe. Du inser att varje möjlig vågrät linje skär grafen på exakt ett ställe.

Detta gör att funktionen uppfyller både villkoret för att den ska vara injektiv (högst en skärningspunkt) och att den ska vara surjektiv (minst en skärningspunkt).

Slutsats: Funktionen $f(x)=x$ är både injektiv och surjektiv.

=======

Försök nu att göra samma sak med de övriga tre funktionerna, en I taget.

Tänk då på att välja vågräta linjer både över och under x-axeln.

Så för f(x) blir det alltså

Om man ser skär både 2 linjerna den röda linjen 1 gång

vart har du hittat kordinat systemen? jätte bra mall? kan du skicka så jag kan fortsätta m?

Har gjort för g(x) och så här resonerar jag

Grafens punkter: skär grafen på 2 ställen ett ställe.

Surjektiv krav✅: målmängden (Y) skär grafen MINST på ett ställe så är funktionen surjektiv .

Injektivt krav❌: (Y) skär grafen HÖGST på ett ställe så är funktionen injektiv.

Funktionen: uppfyller enbart 1 krav (surjektiv) (minst ett skärningspunkt) men 2 skärningar (ej injektiv)

Slutsats: Funktionen

g(x)=x är och surjektiv men ej injektiv.

Samt för g(x) & k(x)

☆ Funktion 3: h(x)= √x

Tabell

Grafen: h(x)

• y=h(x) (svart)& ett par godtyckliga vågräta linjer (lilla)

☆ Förklaring

Grafens punkter: skär grafen på 1 ställen ett ställe.

Surjektiv krav✅: målmängden (Y) skär grafen MINST på ett ställe så är funktionen surjektiv .

Injektivt krav✅: (Y) skär grafen HÖGST på ett ställe så är funktionen injektiv.

Funktionen: uppfyller enbart båda krav (surjektiv) (minst ett skärningspunkt) men 1 skärningar (ej injektiv)

Slutsats: Funktionen

h(x)=x är och surjektiv & injektiv.

☆ Funktion 4: k(x)=x³-3x

Grafen: k(x)

• y=k(x) (svart)& ett par godtyckliga vågräta linjer (röd)

☆ Förklaring

Grafens punkter: skär grafen på 3 ställen ett ställe.

Surjektiv krav✅: målmängden (Y) skär grafen MINST på ett ställe så är funktionen surjektiv .

Injektivt krav❌: (Y) skär grafen HÖGST på ett ställe så är funktionen injektiv.

Funktionen: uppfyller enbart 1 krav (surjektiv) (minst ett skärningspunkt) men 3 skärningar (ej injektiv)

Slutsats: Funktionen

k(x)=x är och surjektiv men ej injektiv.

Maddefoppa skrev:
vart har du hittat kordinat systemen? jätte bra mall? kan du skicka så jag kan fortsätta m?

Jag använder Desmos.com som är ett gratis och väldigt enkelt onlineverktyg för att skissa grafer.

Ett annat och mer kraftfullt verktyg är Geogebra.

Eftersom målmängderna (obs inte värdemängderna) för funktionerna g, h och k är $\mathbb{R}$ , dvs alla reella tal, så innehåller de även negativa tal.

Pröva alltså även med t ex. linjen y = -3.

Du komner att se att denna linje inte skär grafen till y = g(x) och inte heller grafen till y = h(x). Alltså är dessa funktioner inte surjektiva.

Men de skärningen stämmer ju?

Hur menar du?

Linjen $y = -3$ (den undre blåa linjen) skär inte grafen till $y=x^2$ .

Eller blir det liksom att man behöver både analysera rent grafisk och därefter även algebraisk.

för rent algebraisk är jag med på att värdemängden EJ= målmängd för h och g

Maddefoppa skrev:
Eller blir det liksom att man behöver både analysera rent grafisk och därefter även algebraisk.

Nej hela tanken med det som står I din bok (det där om linjer och skärningspunkter) är att man ska kunna avgöra injektivitet och surjektivitet enbart baserat på ett grafiskt resonemang.

för rent algebraisk är jag med på att värdemängden EJ= målmängd för h och g

OK bra, dör det är där man lätt går vilse.

Kika på wikipedias beskrivningar av injektivitet och surjektivitet, där finns det bra illustrationer av detta med avbildningar in i målmängden, vilket är en direkt motsvarighet till din boks resonemang med horisontella linjens skärningspunkter.

Fråga gärna om den kopplingen om du kör fast där.

Jag har en fråga gällande injektiva funktioner kopplat till invers. Inversen blir ju spegel bilden. Och ex g(x)= x^2 har ingen invers. Men förstår inte riktigt hur injektivtet hänger ihop ned inversen.

Rent grafiskt sätt. Inversen finns ju om funktionen både ör surjektiv & injektiv ex

f(x)=2x+1 har f^-1=x/2-1/2

Maddefoppa skrev:
Jag har en fråga gällande injektiva funktioner kopplat till invers. Inversen blir ju spegel bilden. Och ex g(x)= x^2 har ingen invers. Men förstår inte riktigt hur injektivtet hänger ihop ned inversen.

Rent grafiskt sätt. Inversen finns ju om funktionen både ör surjektiv & injektiv ex

f(x)=2x+1 har f^-1=x/2-1/2

Om f^-1 är inversen av f så är grafen till y = f^-1(x) speglingen i linjen y = x av grafen till y = f(x).

Du kan läsa om intverterbara funktioner här.

Ger det dig svar på dina frågor?

Jo men jag vet att inversen är spegelbilden men i min bok står det ex att när df begränsas för x^2 till då punktmängd är :{(a, a²) | a ∈ ℝ} så är den ej injektiv eller surjektiv men

Om Df (x) & målmängd(Y) från hela ℝ → ℝ≥0

f(x)=x² , surjektiv & injektiv
f-¹ (y)=√x
f-¹ • (f(x))=√f(x)=√x²=x om xx≥0.

dvs får en invers. På samma sätt för - värden Krymper intervall df negativa värden: f(x) = x² s inverterbar på intervallet [0,∞[.

Som jag förstår det blir det då den gröna som blir inversen då punktmänden är för negativa realla värden (heltal) och den lilla inversen då punktmängden antas vara för posetiva R.

men lite svårt att förstå begreppet ”punktmäng”

:)

Nej, du kan inte dra roten ur ett negativt tal (om det skall bli ett reellt tal).

Hur menar du? Lösningen högst upp är då punkmängden är + R värden.

Är du med på att det går att göra funktionen $f(x)=x^2$ bijektiv (dvs både injektiv och surjektiv) om vi begränsar både definitionsmängd och målmängd till att utgöras av de icke-negativa reella talen?

Är du med på att $f(x)$ då är inverterbar och att inversen då är $f^{-1}(x)=\sqrt{x}$ ?

Ja men precis för om x>0 tänker jag så här gällande inversen rent algebraiskt. Men förstår fortfarande inte riktigt liksom den grafiskska kopplingen:(

Menar du med att vid x=1 skulle den enbart skära en vågrätt lije en gång?

Den grafiska kopplingen (som du skrev om i ditt ursprungsinlägg) är följande:

Om vi begränsar definitionsmängd och målmängd enligt svar #27 så kommer varje vågrät linje y = a (där a tillhör målmängden) att skära grafen till y = x² exakt en gång.

Det betyder att funktionen då är både injektiv och surjektiv.

Även en fråga gällande speciall fallet för rätlinje ekvattion som jag inte riktigt förstår. f(x)= m då k=0.

…f(x)=m för alla x- värden

f(x)=y parallell med x-axeln
Värdemängden f: består ENBART av 1 element Vf{m}
f(x)= m ej surjektiv eller injektiv

medans för övriga räta linjer är de både surjektiva & injektiva skär MINST 1 gång och MAX 1 gång.

Oki så man kan tänka det som att om man för f(x)= x^2 ser på funktions grafen inom HELA intervalet gäller att den ej är surjektiv eller injektiv.

men om man tar en ”bit” av grafen och zoomar in så blir den just inom denna ”avbildning” surjektv & inhektiv?

Maddefoppa skrev:
Även en fråga gällande speciall fallet för rätlinje ekvattion som jag inte riktigt förstår. f(x)= m då k=0.

…f(x)=m för alla x- värden

f(x)=y parallell med x-axeln
Värdemängden f: består ENBART av 1 element Vf{m}
f(x)= m ej surjektiv eller injektiv

medans för övriga räta linjer är de både surjektiva & injektiva skär MINST 1 gång och MAX 1 gång.

Der stämmer att $f$ i så fall inte är injektiv. Om målmängden dessutom innehåller fler element än värdemängden så är $f$ inte heller surjektiv.

Hade du någon fråga kring det?

Maddefoppa skrev:
Oki så man kan tänka det som att om man för f(x)= x^2 ser på funktions grafen inom HELA intervalet gäller att den ej är surjektiv eller injektiv.

Om du låter definitionsmängd och målmängd innehålla både positiva och negativa tal (t.ex. hela $\mathbb{R}$ ) så gäller att funktionen varken är injektiv eller surjektiv.

men om man tar en ”bit” av grafen och zoomar in så blir den just inom denna ”avbildning” surjektv & inhektiv?

Ja, det stämmer.

Om du tar bort åtminstone alla negativa (eller positiva) tal ur definitionsmängden så blir $f$ injektiv.

Om du tar bort åtminstone alla negativa tal ur målmängden så blir $f$ surjektiv.

När man menar hela R. Menar men då ex 1,2 dvs EJ kvoter (a/b) samt rotter ur tal osv?

När du skriver att f blir injektiv & surjektiv. Menad du då när man tar bort de R tal som EJ år väldigt posetivt stora (x större än 10) och för väldigt negativt stora tal (x mindre än -10)

Maddefoppa skrev:
När man menar hela R. Menar men då ex 1,2 dvs EJ kvoter (a/b) samt rotter ur tal osv?

$\mathbb{R}$ står för mängden av alla reella tal. I den ingår både heltal, rationella tal och irrationella tal.

Läs gärna detta avsnitt.

Maddefoppa skrev:
När du skriver att f blir injektiv & surjektiv. Menad du då när man tar bort de R tal som EJ år väldigt posetivt stora (x större än 10) och för väldigt negativt stora tal (x mindre än -10)

Nej, jag menar att om vi t.ex. begränsar definitionsmängden och målmängden till enbart positiva tal (dvs alla tal som är större än 0) så blir $f$ både injektiv och surjektiv.

Aha jag trodde att syftning när man säger hela R var att HELA mängden av R var inräknad & inte att man syftade på heltalen. Då förstår jag:)

Hur menar du? Alltså om man enbart ser till x>0?

Maddefoppa skrev:
Hur menar du? Alltså om man enbart ser till x>0?

Ja, om vi begränsar både definitionsmängd och målmängd på det sättet så blir $f$ bijektiv (dvs både injektiv och surjektiv).

Kan man säga då att generellt är funktionen då INTE surjektiv eller injektiv men OM.. man begränsar df & vf så blir den det just inom ett specifika intervall.

är det så då generellt för alla funktioner? Dvs. Man skulle kunna säga att alla funktioner kan på visa specifika förhållande vara surjektiv/ bijektiv?

tack för alla svar Yngve glömde att skriva det! Så tacksam för att du förklarar och lägger tid på att svara:)

Maddefoppa skrev:
Kan man säga då att generellt är funktionen då INTE surjektiv eller injektiv

Det stämmer

men OM.. man begränsar df & vf så blir den det just inom ett specifika intervall.

Nej, det är definitionsmängd och målmängd som behöver begränsas, inte definitionsmängd och värdemängd.

är det så då generellt för alla funktioner? Dvs. Man skulle kunna säga att alla funktioner kan på visa specifika förhållande vara surjektiv/ bijektiv?

Det är farligt att uttala sig generellt på det sättet, att det skulle gälla alla funktioner.

Men just nu kan jag inte komma på någon funktion där det inte skulle gälla.

Oki tack så jätte mycket:)

Så man kan säga att man begränsar målmäng (värden på y axeln) och deffintionsmängd (värden på x- axeln) som i sin tur gör/påverkar värdemängden?

Att begränsa definitionsmänden kommer ofta (men inte alltid) att påverka värdemängden.

Exempel: Vi utgår från funktionen $f(x)=x^2$ med definitionsmängd $\mathbb{R}$ .

Om vi nu begränsar definitionsmängden till att endast vara $x\geq2$ så kommer värdemängden att påverkas iom att alla funktionsvärden som är mindre än 4 försvinner.
Men om vi istället begränsar definitionsmängden till att endast vara $x\geq0$ så kommer värdemängden inte att påverkas eftersom funktionsvärdet fortfarande kan vara alla icke-negativa reella tal.

Ja just det! Det har du rätt i! Kan man begränsa målmängd också?

Javisst. Vi kan helt enkelt bestämma att målmängden t.ex. I fallet f(x) = x² är alla icke-negativa reella tal.

Då kommer målmängden och vätdemängden att vara identiska.

Hur påverkar det injektivitet respektive surjektivitet?

Oki har jag förståt det rätt gällande värdemängden & målmängden

målmängden= alla y värden för funktionen.

värdenmängden= y värden som är deffinerade dvs som det finns en funktionvärde för. En avbildning av elementen i y och x.

Maddefoppa skrev:
målmängden= alla y värden för funktionen.

Det är inte en tillräckligt tydlig beskrivning av vad en målmängd är. Läs detta svar och följ länken till Wikipedia i det svaret.

värdenmängden= y värden som är deffinerade dvs som det finns en funktionvärde för. En avbildning av elementen i y och x.

Ja, det stämmer.

Hur blir funktions egenskaperna om man sätter samman funktioner som både är polynom och en periodisk funktion? Ex. Om h(x)=sin(2πx/3)/3−6

där h(x)=f(g(x)). Där f: ℝ→]−∞,−3] enligt f(x)=− sin(πx)/3 −6 och g:ℝ→ℝ enligt g(x)= −2x/3 .

Rent allmänt för definition mängd och målmängd enligt

Definition

Allmänt gäller att när en funktion f från X till Y (f : X → Y)

Så gäller att X är

definitionsmängden (Df) och att Y är målmängden.

För en sammansatt funktion h gäller för definitionsmängden (Df) & målmängden Y att…om f : Y → C och g : X → Y där Df för f är Y och för g är X. Samt att målmängden för f är C och för g är Y.

Så kommer funktionen för funktionen h att gälla h: X→C. Utifrån det kan man studera Df och målmängden för h.

Så jag jag förstått det behöver man för att avgöra definitionsmängd och målmängd studera g och f. Då h är definierad utifrån h(x)=f(g(x)). Dvs att..

Funktionen g

För funktionen g gäller g : ℝ→ℝ vilket innebär målmängd och definition mängd är ℝ. Vilket innebär att om man tar ett element x ∈ ℝ och applicerar funktionen g så fås ett element i ℝ g(x) = y ∈ ℝ .Där R är alla de realla talen. Det innebär per deffitin att att h kommer att ha g:s defftitiomsmängd vilket innebär att h deffitonsmängd kan uttryckas som {x |x∈ R .

Funktionen f har målmängden

]−∞,−3]. Funktionen g har målmängden ℝ. Den sammansatta funktionen h definierad som f(g(x)) har därmed målmängden ]−∞,−3], per definition för målmängden det gäller att y∈ ]−∞,−3] det vill säga den är begränsad pga den periodiska funktionen?

Men att funktionen h notation blir därmed h: ℝ→]−∞,−3].

För värdemängden blir den på samma sätt begränsad pga den periodiska funktionen?

Definition

Allmänt gäller att värdemängden för en funktion är alla element i Y (målmängden) som är bilden av ett element i X (definitionsmängden). Värdemängden (Vf) består därmed av alla element b ∈ Y som uppfyller kravet på att ett a i X så att f(a) = b det gäller för funktionen värdemängden därmed att {b|b = f(a) för något a ∈ X}.

Då h definieras som utifrån h(x)=f(g(x)).

På liknande sätt som att bestämma definitionsmängden och målmängden för h måste man först betrakta g:s och f:s värde mängder samt egenskaper.

För f gäller att den är en periodisk funktion medans g är en förstagradspolynom.

Egenskaper hos periodiska funktioner

Allmänt gäller för en periodisk funktion att den kan skrivas på formen: A sin(Bx − C). Där A, B och C är konstanter.

Där A anger amplituden, B anger perioden och C anger fasförskjutningen.

Amplituden för f

Allmänt gäller att A sin x och A cos x har amplitud |A|. I vårt fall innebär det att f kommer ha amplituden 1/3.

Perioden för f

Allmänt gäller att en funktion av typen sin(Bx) kommer ha perioden 2π/B. En generell funktion av typen sin(x) kommer därmed att perioden 2π dvs upprepar sig efter 2π och då anta värden mellan -1 & 1. För f blir perioden är π, dvs f upprepar sig efter perioden π. B i detta fall blir 2.

Fasförskjutningen för f blir ingenting…eller ingår -6?

Värdemängden för h

Värdemängden för enbart sin(πx) borde kunna skrivas som -1≤sin(πx)≤1. Men då tar man ej hänsyn till faktorer ⅓ som ingår i h innebär det att vi istället får h:s att multiplicera med ⅓ i värdemängds uttrycket vilket ger -1/3≤-1•sin(πx)/3≤1/3.

Därefter behöver man även ta hänsyn till -6 som vilket då ger -6-1/3≤1•sin(πx)/3≤1/3-6 i värdemängden för h som kan förenklas & skrivas som

-19/3≤1•sin(πx)/3≤-17/3

Värdemängden för h skulle då bli intervall för ligger h ligger därmed inom intervallet [-19/3, -17/3].

men hur påverkar 1:a gradspolynomet värdemängden för en sammansatt funktion? Ingenting eller eftersom dens värdemängd är alla de realla talen?

Rent allmänt tänker jag att isånafall skulle h även INTE vara injektiv då h(3), h(6) & h(9) alla ger -6.

men hur blir det surjektiva egenskaper? Samt rent grafisk sätt skulle ju den uppfylla kravet med max 1 skärning och minst en vågrätt skärning.

Maddefoppa skrev:
För värdemängden blir den på samma sätt begränsad pga den periodiska funktionen?

Definition

Allmänt gäller att värdemängden för en funktion är alla element i Y (målmängden) som är bilden av ett element i X (definitionsmängden). Värdemängden (Vf) består därmed av alla element b ∈ Y som uppfyller kravet på att ett a i X så att f(a) = b det gäller för funktionen värdemängden därmed att {b|b = f(a) för något a ∈ X}.

Då h definieras som utifrån h(x)=f(g(x)).

På liknande sätt som att bestämma definitionsmängden och målmängden för h måste man först betrakta g:s och f:s värde mängder samt egenskaper.

För f gäller att den är en periodisk funktion medans g är en förstagradspolynom.

Egenskaper hos periodiska funktioner

Allmänt gäller för en periodisk funktion att den kan skrivas på formen: A sin(Bx − C). Där A, B och C är konstanter.

Där A anger amplituden, B anger perioden och C anger fasförskjutningen.

Amplituden för f

Allmänt gäller att A sin x och A cos x har amplitud |A|. I vårt fall innebär det att f kommer ha amplituden 1/3.

Perioden för f

Allmänt gäller att en funktion av typen sin(Bx) kommer ha perioden 2π/B. En generell funktion av typen sin(x) kommer därmed att perioden 2π dvs upprepar sig efter 2π och då anta värden mellan -1 & 1. För f blir perioden är π, dvs f upprepar sig efter perioden π. B i detta fall blir 2.

Fasförskjutningen för f blir ingenting…eller ingår -6?

Värdemängden för h

Värdemängden för enbart sin(πx) borde kunna skrivas som -1≤sin(πx)≤1. Men då tar man ej hänsyn till faktorer ⅓ som ingår i h innebär det att vi istället får h:s att multiplicera med ⅓ i värdemängds uttrycket vilket ger -1/3≤-1•sin(πx)/3≤1/3.

Därefter behöver man även ta hänsyn till -6 som vilket då ger -6-1/3≤1•sin(πx)/3≤1/3-6 i värdemängden för h som kan förenklas & skrivas som

-19/3≤1•sin(πx)/3≤-17/3

Värdemängden för h skulle då bli intervall för ligger h ligger därmed inom intervallet [-19/3, -17/3].

men hur påverkar 1:a gradspolynomet värdemängden för en sammansatt funktion? Ingenting eller eftersom dens värdemängd är alla de realla talen?

Rent allmänt tänker jag att isånafall skulle h även INTE vara injektiv då h(3), h(6) & h(9) alla ger -6.

men hur blir det surjektiva egenskaper? Samt rent grafisk sätt skulle ju den uppfylla kravet med max 1 skärning och minst en vågrätt skärning.

Insåg nu att jag beskrivit f och inte h.

Allmänt tänker jag..

Allmänt gäller för en sammansatt funktion h på formen h(x)=f(g(x))

om f Y → C och om g : X → Y. Där g:s definitionsmängd är X och målmängd Y och f:s definitionsmängd är Y och målmängden är C. Gäller det att

Om ett element tas x ∈ X och applicerar funktionen g så fås ett element i Y , dvs g(x) = y ∈ Y . Och om vi applicerar funktionen f på y så fås ett element i C, dvs f(y) = c ∈ C. Funktionen h från X till C definierad då genom att först applicera g och sedan f och är den sammansatta funktionen av f och g och då gäller det att h:s definitionsmängd blir X och dess målmängd blir C. Det till säga notationen för h: X→C. Utifrån det kan man studera Df och målmängden för i vårat fall.

För att studera definitionsmängd och målmängd för h behöver man först studera egenskaper hos g och f. Då h är definierad utifrån h(x)=f(g(x)).

Så här tänker jag för f dvs för den som INTE är sammansatt:

Funktionen f

För funktion f gäller f: ℝ→]−∞,−3]

att f:s definitionsmängd är alla de reella talen och att målmängden ligger inom intervallet ]−∞,−3]. Klamrarna anger att målmängden för f är mellan negativ oändlighet och -3, men att negativ oändlighet inte ingår i målmängden medan det övre talet, -3, gör det. Målmängden för f är därmed begränsad i förhållande till g. Vilket förklaras av att f är en periodisk funktion då f(x)=−sin(πx)/3 −6

För f gäller att den är en periodisk funktion.

Periodiska funktioner

Allmänt gäller för en periodisk funktion att den kan skrivas på formen: A sin(Bx − C) + D. Där A, B,C och D är konstanter.

Där A anger amplituden, B anger perioden, C anger fasförskjutningen och D förskyttningen i y-led.

Amplituden A

Allmänt gäller att A sin x och A cos x har amplitud |A|. I vårt fall innebär det att f kommer att ha amplituden 1/3.

Perioden B

Allmänt gäller att en funktion av typen sin(Bx) kommer ha perioden 2π/B. En generell funktion av typen sin(x) kommer därmed att perioden 2π och vara definierad från -∞ till +∞ och då anta värden mellan -1 & 1.

Genom att studera f ser vi att perioden är π, dvs f upprepar sig efter perioden π och att B är 2 då 2π/2=π

Fasförskjutningen C

Allmänt gäller att sin(x − C) har en fasförskjutning på C längdenheter åt höger om C är positivt och åt vänster om C är negativt. I vårt fall om

man studerar f saknas fasförskjutning.

Konstanten D- skärning i y-axeln.

Däremot för f gäller att det finns en till konstant med nämligen -6 vilket innebär funktionen att f kommer att skära y-axeln då -6. Det kommer därmed påverka inom vilket intervall som f antar om man jämför med den generella sin(x) funktionen att anta andra upprepade värden inom intervallet [-1,1]. Intervallet för f värdemängd kommer istället att vara inom intervallet [-17/3, -19/3].

Vilket kan verifieras genom följande beräkning:

Värdemängden för enbart sin(πx) kan uttryckas som -1≤sin(πx)≤1. Men då tar man ej hänsyn till faktorer ⅓ som ingår i f vilket innebär att vi istället får f:s värdemängd genom att multiplicera med ⅓ vilket ger 1/3≤-1•sin(πx)/3≤1/3.

Därefter behöver man även ta till -6 som anger skärningen i y- axeln vilket ger..-6-1/3≤1•sin(πx)/3≤1/3-6 i värdemängden för f som kan förenklas & skrivas som

-19/3≤1•sin(πx)/3≤-17/3

Värdemängd intervall för ligger f ligger därmed inom intervallet [-19/3, -17/3].

Vilket kan skrivas som {f∈ℝ :-19/3≤f≤-17/3}

Och för g tänker jag...

Funktionen g

För funktionen g gäller g : ℝ→ℝ vilket innebär målmängden och definition mängd är mängden av de reella talen ℝ. samt att g(x)= −2x/3 gäller värdemängden för alla R.

För h tänker jag då att..

H- definitionsmängd och målmängd

Den sammansatta funktionen h definierad som f(g(x)) har därmed målmängden för f dvs ]−∞,−3], per definition. Medan h:s definitionsmängd per definition ovan nämnt kommer att vara g:s definitionsmängd dvs ℝ alla de reella talen. Detta gäller då vi vet att h är den sammansatta funktionen av att g : ℝ→ℝ och f: ℝ→]−∞,−3]

H-värdmängd

värdemängden för h skulle isånafall bli begränsad är det pågrund av från funktionen f och inte g. Egenskaperna hos funktionen h är liknande som för f dvs det en en periodiskt funktion som kan skrivas på den allmäna formeln: A sin(Bx − C) +D.

Amplituden A

I vårt fall innebär det att h kommer att ha amplituden dvs densamma som för f 1/3.

Perioden B

Genom att studera h ser vi att perioden är 2π/3, dvs h upprepar sig efter perioden 2π/3 och att B är 3 då 2π/3=2π/3

Fasförskjutningen C

I vårt fall om man studerar h saknas fasförskjutning.

Konstanten D- skärning i y-axeln.

Däremot för h precis som för f att skärning på y-axeln är -6. Därmed påverkas på liknande sätt som för f intervallet för värdemängden.

För att få fram värdemängden för h gör jag samma beräkning som för f. Vilket ger..

-1≤sin(2πx/3)≤1.

-1/3≤1•sin(2πx/3)/3≤1/3.

-6-1/3≤1•sin(2πx/3)/3≤1/3-6

värdemängden för h som kan förenklas & skrivas som

-19/3≤1•sin(2πx)/3≤-17/3

Värdemängden för ligger h ligger därmed inom intervallet [-19/3, -17/3].

Vilket kan skrivas som {h∈ ℝ :-19/3≤h≤-17/3}. Det råder ett uppreppande mönster inom detta intervall med ex bestämda värder som: -6, -17/3 och -19/3 enligt uttrycket h(x)=sin(2πn/3)/3−6 när n varierar över de realla så antar det vill säga h(x) antar då ett ändligt antal funktionsvärden.

Om man sedan kollar på om den sammansatta funktionen h skulle vara surjektiv & injektiv tänker jag att den verkan är surjektiv eller injektiv utifrån att...

Definition-Injektiv

Funktion f är injektiv om a≠b medför att f(a) ≠ f(b). Det innebär att om f är injektiv skall a och b alla avbildas på olika element.

Funktionen f(x) = x är injektiv om f(x₁) = f(x₂ )medför att x₁= x₂ .

Grafiskt gäller även att om h är injektiv så ska varje vågrät linje skära grafen på MAX på ett ställe. Om f inte är injektiva så gäller det istället att a och b avbildas på samma element.

h är INTE injektiv. Eftersom kravet att funktion h har a≠b medför att h(a) ≠ h(b) det vill säga att a och b alla avbildas på olika element inte uppfylls. För om man ex kollar på h(x) funktionsvärden vid ex x1= 0,x2= 3/2 x3= 3 och x4= 6 avbildas alla på samma element. Eftersom mängden av dessa av x-värdena (0,3,3/2 och 6) alla ger samma funktionsvärdet på -6 dvs det gäller att h(0)=-6, h(3/2)=-6, h(3)=-6 och h(6)=-6. Dessutom grafisk sätt kan man rita en vågrätt linje för ex y=-6. Då kommer y=-6 att skära grafen till h vid flera punkter en 1 punkter. Punktmängerna för dessa blir då: (0,-6), (3/2,-6), (3,-6) och (6,-6). Om jag kollar vidare verkar samband även gälla förutsatt att man väljer att rita in en annan vågrätlinje det vill säga för h kommer det generellt att gälla att varje vågrät linje som motsvarar ett element i målmängden skär grafen på MER än ett ställe därmed är funktionen INTE injektiv.

Definition: Surjektiv

Funktion f är surjektiv om värdemängden är lika med målmängden. Det innebär att om alla element i Y av h ska påträffas i värdemängden dvs det ska gälla att Y={A,B,C,D}=Vf så är f surjektiv. Grafiskt gäller även att om vågrät linje skär grafen på minst ett ställe är f surjektiv.

Målmängden för h är ]−∞,−3] och värdemängden h∈ ℝ :-19/3≤h≤-17/3. Det innebär att målmängden och värdemängden inte är lika med varandra. eX talet -3. -3 ingår i h:s mål mängd men -3 kan ingår inte i värdemängden dvs det gäller att -3∈Y men att -3∈/ Vf.

Maddefoppa skrev:
Hur blir funktions egenskaperna om man sätter samman funktioner som både är polynom och en periodisk funktion? Ex. Om h(x)=sin(2πx/3)/3−6

Vi börjar med din första fråga och så ser vi om resten faller ut av sig själv.

Definitionsmängden för (den sammansatta) funktionen $h$ är fortfarande alla tillåtna värden på den oberoende variabeln x, I detta fallet är $D_h=\mathbb{R}$ .

Eftersom $h:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ så är målmängden för $h$ lika med $\mathbb{R}$ .

Värdemängden för $h$ är fortfarande de möjliga värden som $h$ kan anta, dvs $V_h=\left\{b\in\mathbb{R}|-\frac{19}{3}\leq b\leq -\frac{17}{3}\right\}$

Tack för svar Yngve men målmängden för en en sammansatt h funktion blir väl ändå målmängden för f förutsam att h(x)=f(g(x))?

För om h(x)=sin(2πx/3)/3−6 innebär ju det att y- värderna (målmängden) är begränsad i och med -6 försjuttningen.

Såhär skriver de i min bok för sammansatta funktioner.

Om man kollar först på g.

Funktionen g

För funktionen g gäller notationen g : ℝ→ℝ vilket innebär målmängden och definition mängd är mängden av alla de reella talen ℝ.

Funktionen g

Funktionen g är en reell funktion då det är definierat från ℝ till ℝ. Värden för g består därmed av mängden ℝ× ℝ för av alla par av punkter (a, b), där a och b ligger i ℝ. Då a och b är reella säger de vara x-koordinat och y-koordinat vilket betecknas (x,y). Varje punkt för ℝ× ℝ kan därmed markeras i det reella talplanet.

Definition 5. En reell punktmängd i planet är en delmängd av det reella talplanet.

Uttrycket för g är g(x)= −2x/3 och den reala punkt mängden i planet kommer därmed att motsvaras av alla par (x,y) sådana som uppfyller ekvationen y=g(x). Genom att studera g:s funktionsgraf kan man konstatera att g är ett förstagradspolynom dvs grafen till linjen y=g(x). Uttrycket för g kan därmed allmänt skrivas som g(x)=ax +b vilket kommer ge en rät linje. Där b är skärningen på y-axeln och a beskriver lutning. För g a=-⅔ och att b=0 dvs g kommer ha en negativ lutning på -2/3 dvs för varje steg i x-led vi går kommer funktionsvärdet minska med -⅔. och skära y axeln då x=0 som har punktmängden (0,0). g kommer att vara bijektiv (dvs både surjektiv och injektiv. Injektiv då g(x) = x eftersom g(x1 ) = g(x2 ) medför att x1 = x2 och surjektiv då värdemängden och målmängden sammanfaller. Grafiskt bevis på detta nedan där jag ritat y=1 och g uppfyller kravet att på att varje linje ska skära grafen på högst ett ställe och minst på ett ställe.

Värdemängden för g: är alla de realla talen.

För Funktionen f tänker jag..

För funktion f gäller notationen: ℝ→]−∞,−3]. Det vill säga att f:s definitionsmängd är alla de reella talen och att målmängden ligger inom intervallet ]−∞,−3]. Klamrarna anger att målmängden för f är mellan negativ oändlighet och -3, men att negativ oändlighet inte ingår i målmängden men däremot att -3 ingår. Målmängden för f är därmed begränsad i förhållande till g. Det kan förklaras genom att studera skillnaderna i funktion typerna för som g och f.

Funktionen f är också en reell funktion definierad inom de reella talen ℝ precis som g. Den reala punkt mängden i planet kommer därmed att motsvaras av alla par (x,y) som uppfyller ekvationen y=f(x) där för f är kan uttryckas som f(x)=−sin(πx)/3 −6. F:s punktmängd på reella planet kommer att vara mer begränsad vilket kan förklaras av att f:s är en periodisk funktion som kommer att påvisa periodicitet i dess värdemängd med ett ändligt antal värden inom ett bestämt intervall. Det kan bevisas genom att låta n variera över de reella talen och skriva om f f enligt formeln f(x)=−sin(π•n)/3 −6 vilket ger följande..

n=0 f(0)=-6

n=½ f(½)=-19/3

n= 1 f(1)=-6

n=3/2 f(3/2)=-17/3

n=2 f(2)=-6

Utifrån detta kan vi konstatera att när vi låter n variera över de realla talen så kommer funktionen f att anta ett ändligt antal värden inom ett intervall.

Värdemängd intervall för ligger f ligger därmed inom intervallet [-19/3, -17/3].

Vilket kan skrivas som {f∈ℝ :-19/3≤f≤-17/3}

Vilket kan verifieras genom följande beräkning:

Värdemängden för enbart sin(πx) kan uttryckas som -1≤sin(πx)≤1. Men då tar man ej hänsyn till faktorer ⅓ som ingår i f vilket innebär att vi istället får f:s värdemängd genom att multiplicera med ⅓ vilket ger 1/3≤-1•sin(πx)/3≤1/3.

Därefter behöver man även ta till -6 som anger skärningen i y- axeln vilket ger..-6-1/3≤1•sin(πx)/3≤1/3-6 i värdemängden för f som kan förenklas & skrivas som

-19/3≤1•sin(πx)/3≤-17/3.

F:s värdemängd, definitionsmängd och målmängd kan samt skillnaden mellan g:s kan man även förklara genom att se till deras olika funktions typer då f är en periodisk funktion

Periodiska funktioner

Allmänt gäller för en periodisk funktion att den kan skrivas på formen: A sin(Bx − C) + D. Där A, B,C och D är konstanter.

Där A anger amplituden, B anger perioden, C anger fasförskjutningen och D förskjutningen i y-led.

Amplituden A

Allmänt gäller att A sin x och A cos x har amplitud |A|. I vårt fall innebär det att f kommer att ha amplituden 1/3.

Perioden B

Allmänt gäller att en funktion av typen sin(Bx) kommer ha perioden 2π/B. En generell funktion av typen sin(x) kommer därmed att perioden 2π och vara definierad från -∞ till +∞ och då anta värden mellan -1 & 1.

Genom att studera f ser vi att perioden är π, dvs f upprepar sig efter perioden π och att B är 2 då 2π/2=π

Fasförskjutningen C

Allmänt gäller att sin(x − C) har en fasförskjutning på C längdenheter åt höger om C är positivt och åt vänster om C är negativt. I vårt fall om man studerar f saknas fasförskjutning.

Konstanten D- skärning i y-axeln.

Däremot för f gäller att det finns en till konstant med nämligen -6 vilket innebär funktionen att f kommer att skära y-axeln då -6. Det kommer därmed påverka inom vilket intervall som f antar om man jämför med den generella sin(x) funktionen att anta andra upprepade värden inom intervallet [-1,1]. Intervallet för f värdemängd kommer istället att vara inom intervallet [-17/3, -19/3].

Funktionen f : ℝ→]−∞,−3] sådan att f(x)=−sin(πx)/3 −6 inte är därmed inte injektiv då ex f(0)=f(-1). Det vill säga det gäller att f(0) och f(-1) både ger funktionsvärdet -6 dvs när x=0 och x=-1.

Ytterligare bevis kan för att f inte är injektiv kan även bevisas grafiskt i bilden nedan där jag ritar en vågrät linje för y=-6. Då kommer y=-6 att skära grafen till f vid flera punkter en 1 punkt. Punkternamängden för dessa blir då: (0,-6), (-1,-6).

f: är inte heller surjektiv då ex -3 ingår i målmängden men inte värdemängden dvs målmängden och värdemängden sammanfaller inte.

Och om man börjar med h:s deffitionsmängd och värdemängd. Borde då enligt min boks deffition..

Låt f: Y → C och g : X → Y vara två funktioner. Där g:s definitionsmängd är X och målmängd Y och f:s definitionsmängd är Y och målmängden är C. Gäller det att…

Om ett element tas x ∈ X och applicerar funktionen g så fås ett element i Y det vill säga g(x) = y ∈ Y. Och om vi applicerar funktionen f på y så fås ett element i C, det vill säga f(y) = c ∈ C.

Funktionen h från X till C definierad genom att först applicera g och sedan f och är den sammansatta funktionen av f och g och då gäller det att h:s definitionsmängd blir X och dess målmängd blir C. Notationen för h blir därmed h: X→C.

I detta fall då

Den sammansatta funktionen h definierad som f(g(x)) har därmed målmängden för f dvs ]−∞,−3], per definition. Medan h:s definitionsmängd per definition ovan nämnt kommer att vara g:s definitionsmängd dvs ℝ alla de reella talen. Detta gäller då vi vet att h är den sammansatta funktionen av att g : ℝ→ℝ och f: ℝ→]−∞,−3]

För h gäller följande notation för h: ℝ→]−∞,−3]. Där x och där deffitionmängen gäller X= {x |x∈ R} och målmängden för alla Y={y| ∈ ]−∞,−3]}

Maddefoppa skrev:
För om h(x)=sin(2πx/3)/3−6 innebär ju det att y- värderna (målmängden) är begränsad i och med -6 försjuttningen.

Det är värdemängden och inte målmängden som är begränsad.

(Och det är sinusfunktionen och inte -6 förskjutningen som begränsar värdemängden.)

Läs detta avsnitt igen där skillnaden mellan begreppen målmängd och värdemängd beskrivs.

Men förstår inte hur detta då kan stå i min bok? För per deffitonen där borde ju h har målmängden: av f.

Men för värdemängden för h håller jag iaf med ditt resonmang. För om man på samma sätt studerar funktionen h. För värdemängden får jag att..

Utifrån f & g egenskapen kan ju INTE värdemängden för h vara begränsa pga g utan istället pga valet av f. Eller?

Om man nu n variera över heltalen dvs {n|∈ ℤ} och skriver om ett uttryck för h enligt formeln h(n)=sin(2π•n/3)/3−6 vilket ger följande..

n=0

h(0)=sin(2π•0/3)/3−6 =0-6

Då sin(0)=0 h(0)=-6

n= 1

h(1)=sin(2π•1/3)/3−6

sin(2π/3)/3−6

√3/2/3−6=√3/6-6

Då sin(2π/3)=√3/2

h(1)=√3/6-6

n=2

h(2)=sin(2π•2/3)/3−6=sin(4π/3)/3−6=-√3/2/3−6=-√3/6-6

Då sin(4π/3)=-√3/2

h(2)=-√3/6-6

Och om jag forsätter

h(3)=-6, h(4)=√3/6-6 och h(5)=-√3/6-6.

Dvs om man låter n variera över heltalen kommer funktionen h anta funktionsvärdena de tre värdena: √3/6-6, -6 & -√3/6-6 dvs ett ändligt upprepade antal funktionsvärden antas på liknande sätt som för funktionen f. Som du och jag förut skrev om för en cosinusfunktion.

Och om man ser h funktionsegenskaper är liknande som för f, dvs det är en periodisk funktion som kan skrivas på den allmänna formeln: A sin(Bx − C) +D.

Amplituden: 1/3 som för f
perioden 2π/3 där B=3
Ingen fasförskjutning
D= 6 som för f

Och om man gör på samma sätt som för f enligt värdemängden får jag det till..

-1≤sin(2πx/3)≤1.

-1/3≤1•sin(2πx/3)/3≤1/3.

-6-1/3≤1•sin(2πx/3)/3≤1/3-6

värdemängden för h som kan förenklas & skrivas som

-19/3≤1•sin(2πx)/3≤-17/3

Värdemängden för ligger h ligger därmed inom intervallet [-19/3, -17/3]. Vilket kan skrivas som {h∈ ℝ :-19/3≤h≤-17/3}. Precis samma intervall som för f. Men hur kan det komma säga?

För injektivet hos h tänker jag

Definition

Funktion f är injektiv om a≠b medför att f(a) ≠ f(b). Det innebär att om f är injektiv skall a och b alla avbildas på olika element.

Funktionen f(x) = x är injektiv om f(x₁) = f(x₂ )medför att x₁= x₂ .

Grafiskt gäller även att om h är injektiv så ska varje vågrät linje skära grafen på MAX på ett ställe. Om f inte är injektiva så gäller det istället att a och b avbildas på samma element.

för h gäller det då att den inte är injektiv.

Detta är sant eftersom kravet att funktion h INTE UPPFYLEller kravet att a≠b medför att h(a) ≠ h(b) det vill säga att a och b alla avbildas på olika element inte uppfylls. Genom de jag beräknade där uppe dvs funktionsvärden vid några givna x-värden. Ex. Då x1= 0,x2= 3 avbildas alla på samma element.

Eftersom mängden av dessa av x-värdena (0,3) ger samma funktionsvärdet på -6 dvs det gäller att h(0)=-6, h(3)=-6 och följande att h(0)=h(3)=-6 och därmed är h INTE injektiv.

Ytterligare bevis kan för att h inte är injektivt kan även bevisas grafiskt genom att rita en vågrät linje för y=-6. Då kommer y=-6 att skära grafen till h vid flera punkter en 1 punkter. Punkt Mängderna för dessa blir då: (0,-6), (3,-6). Sambandet gäller även om att rita in en annan vågrät linjet vill säga för h kommer det generellt att gälla att varje vågrät linje som motsvarar ett element i målmängden skär grafen på MER än ett ställe därmed är funktionen INTE injektiv. Därmed är detta ytterligare ett bevis för att h inte är INTE är injektiv!!!

Men vet inte hur man ska tänka gällande surjektiv samt om man tänker rätt att f inte är surjektiv och om man kan applicera samma resonomang från f? Det beror jo på det där med målmängden som jag fortfarande inte förstår….

men man kan ju iaf konstatera att..

g:s är injektiv men inte f enligt och att det är relevant att komma ihåg då valet för målmängd,värdemängd och definitionsmängden påverkar huruvida en funktion är surjektiv eller injektiv.

Skulle D begränsa målmängden medan då C begränsar värdmängden? Kommer även A och B att begränsa värdemängden?

Alltså för en periodisk funktion: A sin(Bx − C) + D. Där A, B,C och D är konstanter. Där A anger amplituden, B anger perioden, C anger fasförskjutningen och D förskjutningen i y-led.

Maddefoppa skrev:
Men förstår inte hur detta då kan stå i min bok? För per deffitonen där borde ju h har målmängden: av f.

Ja, det stämmer.

För att den sammansatta funktionen ska hänga ihop så måste målmängden för den inre funktionen anpassas så att den blir lika med den yttre funktionens definitionsmängd

I exemplet från boken: Målmängden till g, dvs Y, är lika med definitionsmängden till f.

Jo men precis och om man då säger…

f: ℝ→]−∞,−3] enligt f(x)=− sin(πx)/3 −6 , och g:ℝ→ℝ enligt g(x)= −2x/3 .

då måste ju h bli

h(x)=sin(2πx/3)/3−6
samt att…

h: ℝ→]−∞,−3]. Där x och där deffitionmängen gäller X= {x |x∈ R} och målmängden för alla Y={y| ∈ ℝ ]−∞,−3]

Vf {h∈ℝ :-19/3≤f≤-17/3}

Maddefoppa skrev:
Men för värdemängden för h håller jag iaf med ditt resonmang. För om man på samma sätt studerar funktionen h. För värdemängden får jag att..

Utifrån f & g egenskapen kan ju INTE värdemängden för h vara begränsa pga g utan istället pga valet av f. Eller?

Det stämmer att i detta fallet begränsar inte g värdemängden för den sammansattavfunktionen. Men om värdemängden för denninre funktionen är en äkta delmängd till definitionmängden för den yttre funktionen så kommer den inre funktionen att begränsa den yttre funktionens värdemängd.

Exempel, där tyvärr f och g är omkastare.

Med funktioner, definitions- och målmängder samt avbildningar enligt bilden:

Målmängden till f består av elementen 1, 2, 3 och 4.
Värdemängden till f består endast av elementen 1, 2 och 3.
Värdemängden till den sammansatta funktionen g°f består endast av elementen 1, 2 och 3.

Dvs egentligen det ända som

blir skillnaden mellan f och h blir perioden:

h får perioden 3 medans f har perioden 2.

varken f eller h blir surjektiva.

Y≠Vf och då Y{]−∞,−3]}≠{19/3≤h≤-17/3}Vf

Jo men exakt eftersom för g det gäller..Vf = {ℝ} = Y.

Dvs surjekt för g men inte f eller h.

Hur skulle man kunna välja en annan funktion som skulle begränsa h?

Maddefoppa skrev:
Hur skulle man kunna välja en annan funktion som skulle begränsa h?

Se exemplet I svar #73

Förstår inte riktigt hur du menar. Hur skulle man kunna välja g för att begränsa h deffitons mängd dvs X-värden.

Och hur blir det med de olika termerna för en periodisk funktion vad kan påverka vad?

Som jag förstått det som A sin(Bx − C) + D. Där A, B,C och D är konstanter. Där A anger amplituden, B anger perioden, C anger fasförskjutningen och D förskjutningen i y-led.

Då borde: D= kunna begränsa målmängden i och med att det anger skärning i y led.

B & C= fasförskjutning borde enbart begränsa målmänden

Och A borde både kunna begränsa: målmängd och värdemängd.

?

Jo i 74# är ju bara en bild som visar elementen:) Menar en funktion liksom. Om man valt en annan funktion g.

Maddefoppa skrev:
Förstår inte riktigt hur du menar. Hur skulle man kunna välja g för att begränsa h deffitons mängd dvs X-värden.

Vi kan hitta på vilka avbildningar vi vill. Det har de gjort i bilden i svar #73.

Här är ett exempel på definitioner av avbildningar som skulle kunna ge just denna situation:

Avbildningen f, från A till B: Om elementet i A är udda så avbildas det på element 1 i B. Om elementet i A är 2 så avbildas det på element 3 i B. Om elementet I A är 4 så avbildas det på element 2 i B.
Avbildningen g, från B till C: Om elementet i B är mindre än 3 så avbildas det på motsvarande element plus 1 i C. Om elementet i B är större än 2 så avbildas det på motsvara element minus 1 i C.

Oki men jag menar h är ju begränsat i målmängd & värdemängd pga f och inte g. Men däremot har h INGEN begränsing i deffintionsmängd. Då det är alla R så därför undrar jag om man på något sätt skulle kunna begränsa h deffitionsmängd?

Maddefoppa skrev:
Oki men jag menar h är ju begränsat i målmängd & värdemängd pga f och inte g. Men däremot har h INGEN begränsing i deffintionsmängd. Då det är alla R så därför undrar jag om man på något sätt skulle kunna begränsa h deffitionsmängd?

Ja, det är fritt fram för dig att göra det.

Du kan begränsa definitionsmängden för en sammansatt funktion på samma sätt som du kan begränsa definitionsmängden för exempelvis y = x² till att vara x > 0.

För om man först studerar g..

Uttrycket för g är g(x)=-2x/3och den reala punkt mängden i planet kommer därmed att motsvaras av alla par (x,y) sådana som uppfyller ekvationen y=g(x). Mängden består således av alla lösningar till ekvationen

g(x)= -2x/3

Genom att studera g:s funktionsgraf kan man är det ju ett förstagradspolynom dvs vi har grafen till linjen y=g(x). Uttrycket för g kan därmed allmänt kunna som g(x)=ax +b vilket kommer ge en rät linje. Där b kommer skärningen på y-axeln och a beskriver lutning. För g a=- 2/3 och b=0 dvs g kommer ha en negativa lutning en på (- 2/3) dvs för varje steg i x-led vi går kommer funktionsvärdet minska med - 2/3 och skära y axeln då x=0 som har punktmängder: (0,0).

Mängderna för g

Eftersom notationen g:ℝ→ℝ så kommer g har definitionsmängden som är alla de reella talen dvs mängden av alla reella tal och i den ingår både heltal, rationella tal och irrationella tal. Det kan uttryckas som Df=ℝ. Målmängden för g är densamma som definitionsmängden dvs Y=ℝ. Värdemängden för g är de möjliga värden som g kan anta vilket i detta fall är Vf=ℝ

Just det då skulle väl både g och h defftionmängd istället bli: Mängden {x|x∈ ℝ, 0≤x≤+∞}.

Dvs om g=x^2

Isånafall bord eju även valet at g och f samt dessa surjektiva/injetkiva egenskaper påverka h surjektiv/injektiv. Då h alltid får defftions mängden av g och målmängden av f?

Tror jag kom på ett elternativ Om vi istället valt att sätta g(x)=1/x hade man istället begränsat h definiering mängd. Då hade g:s definitionsmängd istället varit {x∈ ℝ: x≠0 } vilket hade varit begränsande för då hade varken h eller g varit definierad då x=0.

Det känns som att jag hela tiden ligger 5-10 inlägg efter och nu vet jag inte ens vilken fråga jag ska besvara eller vilket påstående jag ska kommentera.

Jag föreslår att du funderar igenom vad det är du verkligen vill ha hjälp med och sedan startar en ny tråd med den frågan.

Kom även ihåg att du kan redigera ett inlägg i upp till 2 timmar (men inte usprungsfrågan efter att den blivit besvarad).