Graf/funktion och reella lösningar (Matematik/Matte 3)

Säg att f'(a)=0, a<0. Figuren visar att x=a är en lokal minimipunkt och f(x) är strängt avtagande för x<a och strängt växande för x>a. Då f(a) är okänd kan vi ej säga något om antalet lösningar till ekvationen f(x)=0.

Hm, nej,förstod inte mycket här..:)

Mvh/H

Henrik 2 skrev:
Hm, nej,förstod inte mycket här..:)

Mvh/H

Blå kurva: y=f'(x)

De 3 andra kurvorna är exempel på kurvor som alla har samma f'(x). Men vilken f(x) söker vi? Kan vi säga att f(x)=0 har två lösningar?

Men vi behöver ta det från början, vad ska göras?

Så man ska inte hitta en 4e gradare o kika på f(x) av den, jag förstår det inte?

Varför går kurvorna f(x) som dem gör?

Vad menas f(x)=0 dvs där funktionen skär x-axeln och där de reella lösningarna finns?

Mvh/H

Varför ser din f prim (x) olik ut den som jag ritade?

Mvh/H

Henrik 2 skrev:,
Nedan en 3dje gradsfunktion av f prim(x)

Menar du att bilden visar grafen till y = f'(x), dvs att f'(x) är en tredjegradsfunktion?

Anders o Gunnar tittar på denna och diskuterar hur många reella lösningar den kan tänkas ha.

En funktion har inga "lösningar", men den kan ha nollställen. Är det egentligen så att Anders och Gunnar diskuterar hur många reella nollställen den här? Och i så fall vilken funktion? Gäller det f'(x) eller f(x)?

Hur många lösningar har den, diskutera och motivera?

A säger att f (x)=0 har två lösningar stämmer detta påstående?

Nu skriver du f(x) = 0, men är det verkligen det som avses eller är det f'(0) = 0?

Jag förstår inte riktigt hur man löser den men iom derivatan som e en 3dje gradare så är väl f(x) en 4de gradare?

Ja, det stämmer.

========

Som du ser så finns det flera frågetecken kring hur uppgiften verkligen lyder.

Jag har sagt det förr, jag säger det nu och jag kommer att fortsätta att säga det i framtiden: Du besparar både dig själv och oss mycket tid och förvirring om du laddar upp en bild på uppgiften istället för att skriva/rita av den.

Jag har en Android-mobil. Så här gör jag för att lägga in n bild:

Klicka på knappen "Svara" (alternativt citera ett inlägg).
Klicka på bildikonen, andra från höger i raden ovanför inskrivningsrutan.
När jag får upp rutan "Infoga bild" klicar jag på "Välj fil" (ja, det är lite ologiskt)
klicka på kameraikonen
ta bilden
klicka OK
klicka Infoga
Posta svar, om du inte vill skriva något också

Det är säkert minst lika enkelt med en Iphone.

Hej,

Ja, jag vet men har inte uppgiften framför mig, det e därför det kanske ibland blir lite otydligt. Men tror dock uppgiften löd på detta sätt mer eller mindre. Grafen såg ut så, sannolikt, och då undrar jag om det är en tredjegradare och om det spelar någon roll i sammanhanget?

Dem diskuterar hur många lösningar denna kan tänkas ha (dvs f prim(x)). Det är en derivata f prim (x) som dem kikar på.. dvs den som jag ritat.......

A säger att f (x)=0 har två stycken lösningar stämmer detta påstående?

Hur många lösningar har den?

Förstår som sagt var inte hur man tolkar det när dem kikar på denna graf som e f prim (x) o en 3dje gradare o sedan säger f(x)=0 har två lösningar stämmer det?

Så vi har graf med f prim (x) som e ritad ovan o sedan har vi med som dem säger i uppgiften f(x)=0 ?

Mvh/H

Det e väl nollställen som dem menar, där dem skär x-axeln?

Har ingen bild mer än den jag gjort ....

Generellt gäller att grafen till en tredjegradsfunktion alltid har antingen 1, 2 eller 3 nollställen.

Grafen i bilden har 1 nollställe.

Henrik 2 skrev:
Det e väl nollställen som dem menar, där dem skär x-axeln?

Ja, att en funktion har ett nollställe vid ett visst x-värde innebär att funktionens graf skär x-axeln vid det x-vördet.

Men denna e på en A -nivå så den ska diskuteras o motiveras o förstår inte den . Om jag kommer ihåg rätt så e det f prim x dem kikar på o sedan om jag inte kommer ihåg fel så löd det att A säger att f(x)=0 har två st lösningar stämmer detta?

Motivera o diskutera...

Varifrån hämtar du dessa uppgifter?

Trinity2 skrev:
Säg att f'(a)=0, a<0. Figuren visar att x=a är en lokal minimipunkt och f(x) är strängt avtagande för x<a och strängt växande för x>a. Då f(a) är okänd kan vi ej säga något om antalet lösningar till ekvationen f(x)=0.

0, 1 eller 2 lösningar borde vi kunna säga, inte 3 eller 4.

Från youtube, nätet ,gamla prov,mm.

Henrik 2 skrev:
Varför ser din f prim (x) olik ut den som jag ritade?

Mvh/H

Din bild går ej att rita lätt med program. Den blå kurvan har samma egenskaper som din bild. F.ö. hänvisar jag till #4. Om blå är f' kan f ha olika placering och det går ej att dra några säkra slutsatser.

Henrik 2 skrev:
Från youtube, nätet ,gamla prov,mm.

Jag tycker inte att det är någon idé att spekulera i hur uppgiften lyder, så jag lämnar tråden här.

Förslag för framtiden: Spara länkar till de uppgifter du hittar digitalt och vill fråga om. Ta bilder på de uppgifter du hittar på gamla prov och vill fråga om. Skicka med länkar/och eller bilder med dina frågor så ska du se att du kommer att få mycket bättre och snabbare hjälp från mycket mindre förvirrade hjälpare.

Jag anser att vi behöver mer av "så här ser uppgiften ut" och mindre av "om jag kommer ihåg rätt så löd uppgiften så här".

Ok, tack för förtydligande. Men ska man inte nämna något om att f(x) är en 4degradsfunktion då f prim (x) är e 3djegradsfunktion,kanske inte e det som efterfrågas i detta?

Så om derivatan går så, så ska man tolka det som att f(x)=0 har 0-2 lösningar då det beror på integrationskonstanten?

Hej Y,

Ja, du väljer ju själv om du inte vill ge mer input i denna uppgift/fråga som du alltid gör o som jag behöver i denna.

Spekulera ,det har vi mer eller mindre alltid gjort då jag ställer frågor men du regerade nu på detta så hårt,, men förstår. Jag har dock det jag har o postar, även om det ibland e förvirrande då jag kanske inte har all den relevanta info som krävs för att lösa o först uppgiften, men även då vil jag gärna få feeedback ändå oavsett, o som du o andra hitintills alltid gett mig.

Jo, jag kan väl försöka mer spara länkar så jag har hela uppgiften framför mig så man slipper spekulera/gissa men ibland har jag inte det, och kan inte göra något åt det. Om jag kunde ta bilder på gamla prov o kan göra det så ska jag försöka göra det i fortsättningen.

Mvh/H

Bump säger jag, då denna behöver lösas..:)

Jag tycker som Yngve, det är meningsläst att försöka lösa uppgiften när vi måste gissa hur uppgiften är formulerad.

Jo, jo,vet o förstår om jag glömt eller skrivit fel på något men uppgiften löd på ett ungefär så här. Behöver fösöka att lösa den i vart fall för min skull.

Mvh/H

Bump säger jag ,även om ni tycker uppgiften e otydlig.

Kommer inte som sagt riktigt ihåg den. Men dem står o kikar på f prim(x) grafen, o diskuterar o A säger f(x)=0 har två lösningar stämmer det?

Kan man inte säga f(x)=0 när man står o tittar på denna graf som då är f prim (x) ,dvs derivatan?

Kan man endast då säga hur många reella lösningar har f prim(x)=0

I o m att jag inte kommer ihåg om det ska stå f (x)=0 som jag trodde uppgiften löd eller om det då ska vara f prim (x)=0 kan vi,ni inte då försöka spekulera o utgå från båda perspektiv?

Det ska definitivt vara att dem står o kikar på grafen till derivatan o vill se hur många reella lösningar (eller om man säger nollställen) som det finns.

Mvh/H

OK jag ger mig på ett försök och hittar då på en uppgift.

Denna påhittade uppgift har troligtvis liknande och kanske till och med samma lydelse och syfte som ursprungsuppgiften, dvs den du frågar om.

Innan vi börjar så mäste jag säga att jag kommer bara att besvara följdfrågor som rör den nu påhittade uppgiften. Eventuella frågor om ursprungsuppgiften kommer jag att lämna obesvarade. Detta eftersom det är lönlöst att spekulera i hur den egentligen lyder.

======= Påhittad uppgift =====

Anders och Gunnar tittar på följande graf som visar y = f'(x), där f'(x) är en tredjegradsfunktion.

De diskuterar hur många reella lösningar ekvationen f(x) = 0 kan tänkas ha.

Hjälp Anders och Gunnar att komma fram till detta.

================

Tredjegradsfunktionen, vars graf visas är $f'(x)=4x^3-2x+2$ . Det vet jag eftersom det var jag som hittade på.uppgiften.

Dess principiella utseende är likadant som det i ursprungsinlägget, vilket gör att vi kan fortsätta att resonera kring det.

En funktion $f(x)$ som har denna derivata är $f(x)=x^4-x^2+2x$ .

Dess graf ser ut så här:

Vi ser att ekvationen $f(x)=0$ I detta fallet har två reella lösningar.

Men en annan funktion som även den har samma detivata är $f(x)=x^4-x^2+2x+2$ .

Dess graf ser ut så här:

Vi ser att ekvationen $f(x)=0$ I detta fallet har en reell lösning.

Nu tittar vi på en tredje funktion som även den har samma derivata, nämligen $f(x)=x^4-x^2+2x+3$ .Dess graf ser ut så här:

Vi ser att ekvationen $f(x)=0$ I detta fallet saknar reella lösningar.

De tre graferna skiljer sig endast åt genom en vertikal förskjutning.

=======

Nu är det dags för dig att ta över.

Vilka slutsatser drar du?

Varifrån kommer den vertikala förskjutningen?

Hur vet vi att $f(x)$ har just detta principiella utseende?

Just precis, oavsett hur uppgiften löd så e detta ,oavsett om detta efterfrågas o e lösning, men det som jag e ute efter. f(x) är en 4e gradare men för mig ser den ut so en 2a gradare,hm.

Kan f(x) som e en 4e gradare ha allt från 0 till 4 reella lösningar dvs nollställen o det enda som avgör e C, dvs integrationskonstanten som förskjuter grafen uppåt eller neråt., korrekt?

Mvh/H

Henrik 2 skrev:
Just precis, oavsett hur uppgiften löd så e detta ,oavsett om detta efterfrågas o e lösning, men det som jag e ute efter. f(x) är en 4e gradare men för mig ser den ut so en 2a gradare,hm.

En generell fjärdegradsfunktion kan skrivas f(x) = ax⁴+bx³+cx²+dx+e.

Den har olika egenskaper beroende på vilka vörden koefficienterna a, b, c, d och e har.

Grafen y = f(x) kan därmed ha en rad olika utseenden, men oberoende av dessa finns det vissa grundläggande egenskaper som man känner till ändå:

Grafen skär y-axeln i punkten (0, e), dvs konstanten e avglr var grafen skär y-axeln.
Grafen har 1, 2 eller 3 stationära punkter (dvs punkter där lutningen är lika med 0)
Om grafen har 2 stationära punkter måste en av dessa vara en terrasspunkt.
Om grafen har 3 stationära punkter kan ingen av dem vara en terrasspunkt.
Om a > 0 så kommer grafen uppifrån i andra kvadranten och fortsätter upp i första kvadranten. Grafen har då minst en lokal minimipunkt någonstans på vägen.
Om a < 0 så kommer grafen nerifrån i tredje kvadranten och fortsätter ner i fjärde kvadranten. Grafen har då minst en lokal maximipunkt någonstans på vägen

Grafen jag har ritat har a > 0 och endast en lokal minimipunkt.

Detta kan man utläsa ur grafen till y = f'(x).

Kan f(x) som e en 4e gradare ha allt från 0 till 4 reella lösningar dvs nollställen o det enda som avgör e C, dvs integrationskonstanten som förskjuter grafen uppåt eller neråt., korrekt?

Grafen till en fjärdegradsfunktion kan ha allt från 0 till 4 reella nollställen.

Antalet nollställen beror inte enbart på integrationskonstanten C.

Men vi kan pga ovanstående generella egenskaper alltid välja ett värde på C så att grafen saknar reella nollställen.

Vi ser på vår graf y = f'(x) att vår derivatafunktion f'(x) endast har ett nollställe. Detta innebär att grafen till y = f(x) I vårt exempel endast har en stationär punkt.

Vi ser även att det är en minimipunkt.

Därav det lite udda utseendet på grafen.

Tackar, du skriver

Grafen har 1, 2 eller 3 stationära punkter (dvs punkter där lutningen är lika med 0)men sedan så säger du också att en 4de gradare kan ha 0-4 reella lösningar. Varför har grafen, en generell då som du nämnde med f(x) = ax⁴+bx³+cx²+dx+e., 1, 2 eller 3 punkter och sedan har en 4de gradare 0-4 reella nollställen/lösningar, hängde inte med på det?

Antalet nollställen beror inte inte enbart på integrationskonstanten C, vad beror det mer på?

Ett nollställe för f prim(x), innebär att grafen enbart har en stationär punkt/lösning/nollställe då?

Mvh/H

Henrik 2 skrev:
Tackar, du skriver

Grafen har 1, 2 eller 3 stationära punkter (dvs punkter där lutningen är lika med 0)men sedan så säger du också att en 4de radare kan ha 0-4 reella lösningar. Varför har grafen, en generell då som du nämnde med f(x) = ax⁴+bx³+cx²+dx+e., 1, 2 eller 3 punkter och sedan har en 4de gradare 0-4 reella nollställen/lösningar, hängde inte med på det?

Antalet stationära punkter behöver inte vara lika med antalet nollställen.

Vi tar ett enklare exempel som illustrerar detta.

Funktionen g(x) = x²-1 har en stationär punkt och två reella nollställen.
Funktionen g(x) = x² har en stationär punkt och ett reellt nollställe
Funktionen g(x) = x²+1 har en stationär punktoch saknar reella nollställen.

Antalet nollställen beror inte inte enbart på integrationskonstanten C, vad beror det mer på?

Det beror på vilken form grafen har.

Integrationskonstanten C bestämmer inte formen utan endast höjden.

Formen beror på övriga koefficienter (a, b, c och d).

Ett nollställe för f prim(x), innebär att grafen enbart har en stationär punkt/lösning/nollställe då?

Nästan. Om f'(x) endast har ett nollställe så har f(x) endast en stationär punkt.

Men f(x) kan fortfarande ha fler eller färre nollställen.

Antalet nollställen behöver inte vara lika med antalet stationära punkter.

Ok, ritade upp graferna för funktionerna o såg/förstod vad du menar. t ex x²så är väl det i origo o den stationära punkten o nollstället sammanfaller?

Så om man sammanfattar utifrån hur uppgiften löd enligt mig, men sedan så gissar du på en likande lydelse så hur svarar man på detta,motiverar o diskuterar med allt som vi gått igenom i tråden på några rader?

Mvh/H

Henrik 2 skrev:
Ok, ritade upp graferna för funktionerna o såg/förstod vad du menar. t ex x²så är väl det i origo o den stationära punkten o nollstället sammanfaller?

Ja, det stämmer.

Så om man sammanfattar utifrån hur uppgiften löd enligt mig, men sedan så gissar du på en likande lydelse så hur svarar man på detta,motiverar o diskuterar med allt som vi gått igenom i tråden på några rader?

Derivatafunktionen f'(x) har endast ett nollställe, vilket innebär att funktionen f(x) endast har en stationär punkt.

Eftersom f'(x) är en tredjegradsfunktion så måste f(x) vara en fjärdegradsfunktion.

Detta innebär att den stationära punkten som f(x) har antingen måste vara en minimi- eller en maximipunkt.

Om vi säger att nollstället till f'(x) ligger vid x = a, dvs att f'(a) = 0 så ser vi på grafen till y = f'(x) att den har en positiv lutning vid x = a.

Det innebär att f''(a) > 0, vilket i sin tur ger oss att funktionen f(x) har en minimipunkt vid x = a.

Derivatafunktionen f'(x) ger oss endast information om vilken form grafen till y = f(x) har, inte var denna graf är placerad i vertikal ledd. Eftersom vi inte känner till något vörde på f(x) så kan vi inte säga om dess minimipunkt ligger under, på eller ovanför x-axeln.

Vilket ger oss de tre möljiga alternativen 2, 1 respektive 0 nollställen för f(x).

======

Om du hängde med på ovanstående så läs svar #2 och #4 från Trinity2 igen. De säger samma sak, fast med färre ord.

Hängde med relativt men detta behöver du rita upp i en graf för att jag ska förstå lite bättre.

Dels varför måste det vara en minimi eller max, varför kan det inte vara en terrrasspunkt också?

Förstår inte det här med inblanding av a

Om vi säger att nollstället till f'(x) ligger vid x = a, dvs att f'(a) = 0 så ser vi på grafen till y = f'(x) att den har en positiv lutning vid x = a.

Det innebär att f''(a) > 0, vilket i sin tur ger oss att funktionen f(x) har en minimipunkt vid x = a.

Står det f biss(a)större än 0 ovan?

Mvh/H

Henrik 2 skrev:
Hängde med relativt men detta behöver du rita upp i en graf för att jag ska förstå lite bättre.

Det har jag redan gjort i svar #25.

Dels varför måste det vara en minimi eller max, varför kan det inte vara en terrrasspunkt också?

Det har jag förklarat i svar #27

Förstår inte det här med inblanding av a

Om vi säger att nollstället till f'(x) ligger vid x = a, dvs att f'(a) = 0 så ser vi på grafen till y = f'(x) att den har en positiv lutning vid x = a.

Det innebär att f''(a) > 0, vilket i sin tur ger oss att funktionen f(x) har en minimipunkt vid x = a.

Står det f biss(a)större än 0 ovan?

Ja, det står f^bis(a), dvs andraderivatans värde vid x = a.

Här är en illustration av att lutningen vid f'(a) är positiv, vilket innebär att f''(a) > 0.

Ok, kikade tillbaka på inlägg 25 o 27 o vad du skrivit.

Är f prim(a) positivt för att den ligger på eller över x-axeln eller för att den kommer nerifrån tredje kvadranten o går uppåt till den andra o sedan vidare in i den 1a kvadranten?

Vad innebär, nu igen,att f biss (a)är större än 0?

Varför e det viktigt att man nämner andraderivatan här?

Och varför , återigen, behöver vi ha a med i beräkningen, har inte förstått det?

Mvh/H

Henrik 2 skrev:
[...]

Är f prim(a) positivt för att den ligger på eller över x-axeln eller för att den kommer nerifrån tredje kvadranten o går uppåt till den andra o sedan vidare in i den 1a kvadranten?

Nej, f'(a) är inte positiv utan istället lika med 0.

Men lutningen på f'(x) är positiv vid x = a.

Och det är inte för att grafen korsar x-axeln där, utan för att grafen helt enkelt lutar uppåt där.

Vad innebär, nu igen,att f biss (a)är större än 0?

Det innebär att funktionen f(x) har en minimipunkt vid x = a. Läs mer om detta här.

Varför e det viktigt att man nämner andraderivatan här?

Det är bra om vi vill ta reda på huruvida f(x) har en minimi- eller maximipunkt vid x = a. Men det är egentligen inte nödvändigt att ta refa på det för att lösa uppgiften.

Och varför , återigen, behöver vi ha a med i beräkningen, har inte förstått det?

Det behövs egentligen inte, men det underlättar vid formulering av resonemanget kring f(x), dess stationära punkt och vilken karaktär denna stationära punkt har.

Ok, det e lutningen som e positiv men f prim (a)=0

Ok, f biss(x)större än 0 innebär att f(x)har en minpunkt vid x=a, glad mun:)

Just det, andraderviatan används för att avgöra om punktens karaktär.

Ok, så a används för resonemanget om f(x) dess stationära punkt och vilken karaktär den har.

Mvh/

P.s då e denna "färdig" inget mer att tillägga så markerar jag den.

Hej,

Denna uppgift e nu i princip färdigdiskuterad men undrar varför har denna bara 0-2 reella lösningar/nollställen då e 4egradare kan ha mellan 0-4, ?

E det för att f prim (x) såg ut som den gjorde o då bir f(x) så som du ritade och den kan inte ha potentiellt mer ä 0-2 lösningar?

Mvh/H

Henrik 2 skrev:
Denna uppgift e nu i princip färdigdiskuterad men undrar varför har denna bara 0-2 reella lösningar/nollställen då e 4egradare kan ha mellan 0-4, ?

E det för att f prim (x) såg ut som den gjorde o då bir f(x) så som du ritade och den kan inte ha potentiellt mer ä 0-2 lösningar?

Ja, det stämmer. Det viktiga här är att kunna utgå från en derivatagraf y = f'(x) och baserat på den komma fram till ett principiellt utseende på grafen till y = f(x).

Men en 4e gradare har då 0-4 reella lösningar/nollställen men iom formen/utseendet på f prim(x) i den jag ritade så anses f(x) bara ha 0-2 reella nollställen/lösningar

Henrik 2 skrev:
Men en 4e gradare har då 0-4 reella lösningar/nollställen men iom formen/utseendet på f prim(x) i den jag ritade så anses f(x) bara ha 0-2 reella nollställen/lösningar

Du bör hålla isär begreppen lösningar/nollställen.

En ekvation kan ha lösningar.

En funktion eller ett uttryck kan ha nollställen.

Generellt gäller att ett polynom av grad n

kan ha upp till n st nollställen
alltid har minst ett nollställe om n är udda.

Läs gärna detta avsnitt där det finns några exempel på hur olika grafer kan se ut.

=====

Det stämmer att fjärdegradsfunktionen i detta fall endast kan ha 0, 1 eller 2 nollställen.

Hej,

Ok, kikar länk,tack.

Så vad e egentligen skillnaden då, 0-ställen e ju på x-axeln, men lösningar då?

Så har den bara 0,1 eller 2 nollställen pga hur f prim (x)ser ut,dess form?

Mvh/H

Henrik 2 skrev:
[...]

Så vad e egentligen skillnaden då, 0-ställen e ju på x-axeln, men lösningar då?

En ekvation är ett påstående, nämligen att något är samma sak som något annat.

Detta påstående kan vara sant alltid, ibland eller aldrig.

Att lösa en ekvation innebär att man bestämmer det/de värden på de ingående obekanta storheterna som gör att ekvationen är ett sant påstående, man säger att ekvationen då är "uppfylld". Dessa vörden kallas ekvationens lösningar.

Exempel:

Ekvationen (6x+4)/2 = 3x+2 är uppfylld för alla möjliga värden på x. Ekvationen är ett sant påstående oavsett vilket värde x har. Ekvationen har oändligt många lösningar.
Ekvationen x² = 9 är uppfylld för de två x-värdena x = 3 och x = -3. Ekvationen är ett sant påstående endast då x har något av dessa värden. Ekvationen har två lösningar.
Ekvationen x = x+5 är inte uppfylld för något värde på x. Ekvationen är aldrig ett sant påstående, oavsett vad x har för värde. Ekvationen saknar lösningar.

Så har den bara 0,1 eller 2 nollställen pga hur f prim (x)ser ut,dess form?

Ja, det stämmer.

Hm, ok, då e det nog så att i denna uppgift så e det reella 0-ställen som efterfrågas o inte reella lösningar.

Mvh/H

Henrik 2 skrev:
Hm, ok, då e det nog så att i denna uppgift så e det reella 0-ställen som efterfrågas o inte reella lösningar.

Mvh/H

Ja, som jag skrev i svar #7.

Yes,ok.