Graf avsvalningstemperatur

Har du ritat en kurva med dina värden? Dra bort 21,8 och logaritmera så ska det bli en rät linje.

Hade temperaturen sjunkit från 93 rill 90 när du började mäta?

Rörde du om ibland?

Hur mätte du temperaturen?

Laguna skrev:

Har du ritat en kurva med dina värden? Dra bort 21,8 och logaritmera så ska det bli en rät linje.

Hade temperaturen sjunkit från 93 rill 90 när du började mäta?

Rörde du om ibland?

Hur mätte du temperaturen?

Ja diagram bifogas nedan. Jag lät den inte komma ner till rumstemperatur, utan stannade vid 22,5^o.

Ja jag startade när jag avläste 90.

Nej jag rörde inte om. Kanske det var mitt största misstag?

En något primitiv mätning kanske? Se bild nedan. OBS att spetsen på termometern inte ligger på botten.

Jag skulle tro att avsvalningslagen är annorlunda om man inte rör om, men den kanske fortfarande har samma allmänna form. Snygg kurva i alla fall.

Hur blir det om du logaritmerar?

Jag är inte helt med på vad du menar med att logaritmera?
Inte begreppet, men vad exakt ska jag logaritmera?
Det känns som om jag någon gång i tiden kunnat det, men nu är det som bortblåst.

Jag skrev det förut: dra bort 21,8 från dina temperaturvärden och logaritmera. Enligt din formel ska du få
ln(68,2) - 0,04416x då.

Laguna skrev:

Jag skrev det förut: dra bort 21,8 från dina temperaturvärden och logaritmera. Enligt din formel ska du få
ln(68,2) - 0,04416x då.

Lite förvirrad blev jag nu, men är det så här du menar:
$\ln y=\ln (68,2·e^{-0,04416x})$och det leder sedan efter lite ekvationslösning till $\ln y=\ln \left(68\right)-0,04416x$
Sätter jag sedan in H.L. i grafräknaren så får jag en rät linje som lutar nedåt.

Tyvärr begriper jag inte vad jag gör. Jag sökte lite på nätet och fann det här. Är det relevant eller har jag skjutit högt över målet?

Tror du att du kan förklara litet för mig? Om det är det som finns i bilden så har jag deras förklaring innan, men innan jag försöker fatta det kanske du har lite som du kan förmedla?

Jag har försökt på flera sätt nu, men förstår inte riktigt vad du menar. Möjligen så var det bara så enkelt att det jag tog fram på grafräknaren, med din hjälp som blev en rät linje, visade att allt stämde?

Jag blev lite misstänksam att jag förstorat problemet. Nu har jag ritat in den beräknade kurvan från ekvationen och jag kanske trots allt borde vara rätt nöjd med den?
Särskilt med tanke på min tekniska utrustning 😊

Det ser ut som om jag kanske skulle kunna få ett bättre resultat om jag väljer f(30) istället för f(20) men det får bli imorgon.

Som jag trodde så blev valet av f(30) som gemensam punkt ett bättre val och ekvationen blev
 $y=62,8e^{-0,04056t}+21,8$

På det viset blev det som mest lite mer än 2 grader celcius på ett intervall 50< t <84.

Jag har börjat att förstå lite av logaritmering av kurvor med hjälp av denna LÄNK.

Fast jag förstår inte riktigt vitsen med att använda det här?

Det skulle vara mycket intressant om någon ville berätta det.

Vitsen är att du får en rät linje, som är mycket lättare att anpassa till dina data, det är bara att ta en linjal.

Mycket bra laborerat! Du har fina mätdata, men vi kan förbättra analysen litegrann.

När du löser ut för $k$ så använder du ju bara ett av dina mätvärden när du stoppar in - du märker också att vilket av värdena som används har ganska stor påverkan på hela temperaturkurvan. Faktum är att när du gör på detta sätt kastar du ju bort alla utom ett av dina fina mätvärden. Detta gör att mätfel och dylikt får mycket större påverkan än vad det skulle haft om vi kunde ta hänsyn till alla mätvärden.

Hur gör vi då när vi vill utnyttja alla mätvärden? Jo, vi kan använda regression i t.ex. Excel eller på en grafritande räknare. Regression tar nämligen hänsyn till alla mätvärden och väljer den kurva som minimerar felet till alla mätvärden. Det går också att för hand anpassa en kurva som ser bra ut till alla punkter. Problemet är att kurvor som denna exponentialkurva sällan går att få Excel/miniräknare att göra regression på. Inte heller är det särskilt lätt att rita en kurva för hand eftersom det är svårt att rita formen av en exponentialkurva för hand.

Lösningen visar sig vara att rita upp något annat på axlarna så att kurvan istället blir en rät linje (man brukar kalla detta för en linjärisering). Det är här logaritmeringen kommer in. Om vi logaritmerar ett exponentiellt samband blir det nämligen linjärt!

Om vi gör samma procedur med differentialekvationen som du gjort, men med mer allmänna beteckningar, kan temperaturen $T(t)$ uttryckas enligt:

$T(t)=T_\text{omg.}+\left(T_0-T_\text{omg.}\right)e^{-kt}$

där $T(t)$ är temperaturen vid tiden $t$, $T_0$ är ursprungstemperaturen, och $T_\text{omg.}$ är omgivningens temperatur.

Om vi nu flyttar över $T_\text{omg.}$

$T(t)-T_\text{omg.}=\left(T_0-T_\text{omg.}\right)e^{-kt}$

och sedan logaritmerar får vi

$\ln(T(t)-T_\text{omg.})=\ln(T_0-T_\text{omg.})-kt$

Här ser vi att om vi skulle lägga $\ln(T(t)-T_\text{omg.})$ på $y$-axeln och $t$ på $x$-axeln skulle det vara ett linjärt samband (y=kx+m), där lutningen är $-k$. Om vi nu gör ett sådant diagram, och låter Excel göra en regression på det får vi:

Vi ser att det blir en ganska hyfsad rät linje (vilket är bra!) med ekvationen $y=-5,77\cdot10^{-4}\cdot x+4,11$. Detta innebär alltså att

$k=5,77\cdot10^{-4}$

(Detta värde ger förmodligen en bättre kurva än om vi bara väljer ett enda värde). Det går självklart också att göra detta för hand genom att rita ut samtliga logaritmerade punkter på ett papper (gärna millimeterpapper) och sedan rita en linje med linjal som ser ut att passa bra (mycket lättare än att rita in en exponentialkurva!). Det är ytterligare en fördel med att linjärisera.

Hur kan vi då se hur bra vår anpassade linje passar mätvärdena? Jo, det talar den där siffran $R^2$ i regressionen om för oss (i vårt fall $R^2=0,989$). Ju närmare $R^2$ är ett, desto bättre passar kurvan mätvärdena. $R^2=0,989$ är ganska nära ett, så vi kan konstatera att mätningen ändå är ganska bra!

Här har du en länk till ett Google Kalkylark (onlineversion av Excel) där jag skrivit in dina mätvärden och ritat diagram:

https://docs.google.com/spreadsheets/d/1hHd4gTs1NOVKtD1ils9acH9Efby_2_hnFutNGGP5I5Q/edit?usp=sharing

Hur skulle mätningen kunna förbättras?

Jag tycker att din uppställning är ganska bra, men här är några saker jag tror skulle kunna ge ännu bättre resultat:

• Undvik metallbricka och metallkastrull och använd något isolerande som papp eller plast istället. Vi vill undvika att vattnets temperatur går åt till att värma upp kastrullen/det som kastrullen står på. (Metall leder ju värme väldigt bra)
• Använd mindre volym vatten. Jag tror att det är bra om värmen kan fördela sig så jämnt som möjligt i vattnet. Ju mindre vatten, desto mer kan vattnet "röra om sig självt" och fördela värmen jämnt. Eller så försöker du med att röra om i kastrullen, men försök då att hålla omrörningshastigheten konstant hela tiden (helst av allt skulle man kanske ha en sån där magnetomrörare som man har när man gör kemiexperiment).
• Mät under en kortare tidsperiod och vid lite högre temperaturer. Ju närmre rumstemperaturen du kommer, desto större påverkan har t.ex. förändringar i rumstemperatur, luftflödet i rummet o.s.v. Mät kanske därför hellre från 90 till 50 grader celsius eller så. Ett tips kan också vara att istället för att mäta var femte grad att mäta t.ex. var trettionde sekund. Då får du fler punkter som också har lite mer lika temperatur. Det borde ge en bättre mätning.

Jag har för mig att jag gjort detta experiment med ca 1 dl vatten i en pappmugg under ca. 15 min (med mätningar var 30:e sekund) och fått riktigt fina värden. Man kan även jämföra med och utan plastlock på pappmuggen. Då borde man få olika värden på $k$, eftersom vi har mindre värmeutbyte med omgivning med ett lock.

Bra exposé, AlvinB. Du vet nog mer om det här än jag.

T_omg kan vara lite fel, och vi har gjort oss beroende av den för att vi subtraherar den innan vi logaritmerar. Det finns säkert matematiska metoder som kan ta hänsyn till det, men vi kan alltid prova med att variera den lite, och se om de logaritmerade anpassar sig bättre till en rät linje.

Men det är bara för att bli glad, egentligen. Vår enkla exponentiella modell kanske inte stämmer helt, så att tvinga in mätdata till modellen kan få oss att dra slutsatser som inte är giltiga.

Tack så mycket bägge två för svar. Det visade sig att det var klokt att ställa frågan på pluggakuten.
Jag har blivit tvungen att engagera mig så mycket mer än jag först tänkt och lärt mig en hel del och tack vare Alvins fina inlägg nu så kan jag nog komma ännu längre.
Vill också påpeka att jag är tacksam för Lagunas engagemang, men det är så lätt att bli ivrig att ställa nästa fråga och då kan det se ut som om jag är otacksam kanske, men det är jag absolut inte, möjligen lite för ivrig bara.

Nu får jag sätta på mig tänkarluvan ett tag och låta saker sjunka in och förhoppningsvis komma ut lite klokare.
Tack än en gång för svaren!

Nu har det klarnat! Mycket bra förklarat av dig Alvin.
Nu har jag förstått vitsen med logaritmering och linjärisering. (Linjärisering fanns redan i matte 2 såg jag. Pinsamt)
Blev lite förvirrad över konstanten -5,77 * 10^-4, innan jag insåg att den gick att omvandla till diagram med minuter och fick fram - 0,03462 när jag multiplicerade -0,000577 med 60. Prickade in ekvationen med den konstanten och tyckte först att det blev väl inte så bra, men plötsligt slog det mig att den passade mycket bättre i mitt tänkta exempel.
Det är ju så att jag jobbar med ett gymnasiearbete som ni kanske sett? Där kommer det här kanske att ingå i en bilaga. Jag nämner i inledningen av mitt arbete att jag räknat med avsvalning för stora motorer i mitt yrke och fått använda talet e utan att minnas från gymnasietiden varför talet e ingick i ekvationen. Vad som var viktigt då var att förstå att rotorn med sina lindningar var den känsligaste delen vid upprepade starter. Det fanns givetvis skydd för att skydda mot det, men ibland kunde det finnas orsaker som gjorde att det kunde finnas möjlighet att inte behöva vänta 4 timmar efter 3 starter inom en timme, om jag nu minns rätt. T.ex. om en av starterna aldrig hade fullbordats.
I pappersindustrin var då varje minut viktig ibland. Därför ville de som ansvarade för driften att vi skulle nollställa skyddet så de kunde göra ytterligare en start. För att då veta vad vi tog för risker så lärde jag mig avsvalningsberäkningen.

Här kommer diagrammet med uppmätt kurva och tre ytterligare kurvor. Den med cirklar och som inte har en linje utan bara punkterna är den som du Alvin tog fram åt mig. Först valde jag kurva efter den kurva som hade minst temperaturavvikelse, men med motorerna var väntetiden det viktigaste och därför är det bättre med en kurva som har små avvikelser på tidsaxeln.

Jag ritade även ett diagram för hand med logaritmerade värden och använde linjal då valde jag värdet -0,0392 vilket vi kan se i diagrammet ovan ligger rätt lika den streckade kurvan och som inte heller är så dåligt val.
Den kurva som ligger längst ifrån är den ekvation som jag fick fram först.

Som sagt tack för hjälpen och nu har jag kommit ytterligare ett steg på vägen att förstå talet e. Jag hade kanske kunnat valt något enklare, men knappast något mer utvecklande för egen del.