Gradtal

Känner du till vad en sned asymptot är för något?

Nja..

En asymptot till en funktion är en rät linje som funktionen närmar sig när x går mot $x \rightarrow \pm \infty$. (Det finns vertikala asymptoter också).

Så uppgiften är därför att försöka hitta vilken linje som $(x^2 + 16)/(4x)$ närmar sig då $x \rightarrow \infty$ och då $x \rightarrow -\infty$.

Detta skiljer sig alltså från att bestämma exempelvis gränsvärdet $\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x^2+16}{4x}$, då skulle man dividera med "det högsta gradtalet".

För att bestämma vilken linje det är så kan man göra på olika sätt, men i detta fall så kan du notera att

$\frac{x^2+16}{4x}=\frac{1}{4}x+\frac{4}{x}$

Eftersom då $x \rightarrow \pm \infty$ så kommer $4/x$ gå mot noll och då kommer funktionen alltså närma sig linjen $y = x/4$, vilket innebär att denna linje är en asymptot till funktionen.

Men oftast är gränsvärden väldigt lika asymptoterna har jag lärt mig. Blir det fel om man dividerar med x²? 

Jag kan ju inte direkt säga att det är fel. Men låt oss inte glömma bort målet här, vi ska bestämma vilken linje funktionen närmar sig. Om du dividerar med $x^2$, känner du då att du har kommit närmare att bestämma vilken linje det är funktionen närmar sig?

Jag får det till (1+16/x²)/(4/x) när jag dividerar med x²... sen tar de stopp... 

Ja precis, problemet nu är ju att om x blir väldigt stort så kommer nämnaren 4/x närma sig noll. Det är inte lätt att se från det där uttrycket att den närmar sig någon linje, så man har inte blivit så mycket lyckligare av det.

Så idén med att dividera med $x^2$ blir ju inte speciellt bra eftersom man inte kommer närmare målet.

Okej tack för en bra förklaring! Tänk om man inte alltid kan dela upp funktionen som du gjorde först x/4 + 4/x, hur gör man då om det inte kan att dela upp? 

Man kan göra på lite olika sätt, när det gäller gymnasienivå så antar jag att ni inte kommer behöva kunna bestämma asymptoter för vilken funktion som helst men jag känner inte riktigt till vad som ingår där. Men generellt finns det inte något sätt som alltid kommer fungera bra.

Du vill alltså bestämma en linje $y = kx + m$ som funktionen närmar sig. För att bestämma k värdet så kan man exempelvis testa att dividera funktionen med x och se vad den går mot då x växer.

Exempelvis så har du ju att

$\raisebox{1ex}{${\displaystyle \frac{x^2+16}{4x}}$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$x$}\right.=\frac{x+16/x}{4x}$

om vi nu låter x gå mot $\infty$ så ser vi att uttrycket ovanför kommer närma sig $1/4$. Detta berättar för oss att det är detta som måste vara k värdet för linjen.

Nu när man vet vad k värdet är så kan man beräkna

$\frac{x^2 + 16}{4x} - \frac{x}{4} = \frac{x^2 + 16 - x^2}{4x} = \frac{16}{4x}$

När x går mot $\infty$ så kommer detta gå mot noll. Därför måste asymptotens m värde vara 0.

Så då har man kommit fram till att $y = \frac{x}{4} + 0 = \frac{x}{4}$ är en asymptot till funktionen.

Kan du ge mig ett räkneexempel så ser jag om jag förstått det rätt? :) 

Tack för en schysst förklaring!

Det är inte tillåtet att göra flera trådar om samma fråga. Fortsatta diskussioner hänvisas till den första tråden. /moderator

Ja, du kan ju försöka på

$\frac{2x^3+4x^2+3}{x^2+3x+10}$

vad har denna för asymptot då $x \rightarrow \infty$?