12 svar
302 visningar
Smith 210
Postad: 12 nov 2017 18:52 Redigerad: 12 nov 2017 20:02

Gradtal

Detta med asymptot:

 

(x²+16)/4x

Varför deriverar man med  x och inte x² (för att hitta oändliga värde som ger asymptot)? Är inte det alltid högsta gradtal man dividerar med..

Tråd låst, se sista posten för förklaring /Smaragdalena, moderator

Stokastisk 3597 – Fd. Medlem
Postad: 12 nov 2017 18:57

Känner du till vad en sned asymptot är för något?

Smith 210
Postad: 12 nov 2017 18:59

Nja..

Stokastisk 3597 – Fd. Medlem
Postad: 12 nov 2017 19:06

En asymptot till en funktion är en rät linje som funktionen närmar sig när x går mot x± x \rightarrow \pm \infty . (Det finns vertikala asymptoter också).

Så uppgiften är därför att försöka hitta vilken linje som (x2+16)/(4x) (x^2 + 16)/(4x) närmar sig då x x \rightarrow \infty och då x- x \rightarrow -\infty .

Detta skiljer sig alltså från att bestämma exempelvis gränsvärdet limxx2+164x, då skulle man dividera med "det högsta gradtalet".

För att bestämma vilken linje det är så kan man göra på olika sätt, men i detta fall så kan du notera att

x2+164x=14x+4x

Eftersom då x± x \rightarrow \pm \infty så kommer 4/x 4/x gå mot noll och då kommer funktionen alltså närma sig linjen y=x/4 y = x/4 , vilket innebär att denna linje är en asymptot till funktionen.

Smith 210
Postad: 12 nov 2017 19:15

Men oftast är gränsvärden väldigt lika asymptoterna har jag lärt mig. Blir det fel om man dividerar med x²? 

Stokastisk 3597 – Fd. Medlem
Postad: 12 nov 2017 19:20

Jag kan ju inte direkt säga att det är fel. Men låt oss inte glömma bort målet här, vi ska bestämma vilken linje funktionen närmar sig. Om du dividerar med x2 x^2 , känner du då att du har kommit närmare att bestämma vilken linje det är funktionen närmar sig?

Smith 210
Postad: 12 nov 2017 19:28

Jag får det till (1+16/x²)/(4/x) när jag dividerar med x²... sen tar de stopp... 

Stokastisk 3597 – Fd. Medlem
Postad: 12 nov 2017 19:30

Ja precis, problemet nu är ju att om x blir väldigt stort så kommer nämnaren 4/x närma sig noll. Det är inte lätt att se från det där uttrycket att den närmar sig någon linje, så man har inte blivit så mycket lyckligare av det.

Så idén med att dividera med x2 x^2 blir ju inte speciellt bra eftersom man inte kommer närmare målet.

Smith 210
Postad: 12 nov 2017 19:33

Okej tack för en bra förklaring! Tänk om man inte alltid kan dela upp funktionen som du gjorde först x/4 + 4/x, hur gör man då om det inte kan att dela upp? 

Stokastisk 3597 – Fd. Medlem
Postad: 12 nov 2017 19:44

Man kan göra på lite olika sätt, när det gäller gymnasienivå så antar jag att ni inte kommer behöva kunna bestämma asymptoter för vilken funktion som helst men jag känner inte riktigt till vad som ingår där. Men generellt finns det inte något sätt som alltid kommer fungera bra.

Du vill alltså bestämma en linje y=kx+m y = kx + m som funktionen närmar sig. För att bestämma k värdet så kan man exempelvis testa att dividera funktionen med x och se vad den går mot då x växer.

Exempelvis så har du ju att

x2+164xx=x+16/x4x

om vi nu låter x gå mot \infty så ser vi att uttrycket ovanför kommer närma sig 1/4 1/4 . Detta berättar för oss att det är detta som måste vara k värdet för linjen.

Nu när man vet vad k värdet är så kan man beräkna

x2+164x-x4=x2+16-x24x=164x \frac{x^2 + 16}{4x} - \frac{x}{4} = \frac{x^2 + 16 - x^2}{4x} = \frac{16}{4x}

När x går mot \infty så kommer detta gå mot noll. Därför måste asymptotens m värde vara 0.

Så då har man kommit fram till att y=x4+0=x4 y = \frac{x}{4} + 0 = \frac{x}{4} är en asymptot till funktionen.

Smith 210
Postad: 12 nov 2017 19:54

Kan du ge mig ett räkneexempel så ser jag om jag förstått det rätt? :) 

Tack för en schysst förklaring!

Smaragdalena 80504 – Avstängd
Postad: 12 nov 2017 19:57

Det är inte tillåtet att göra flera trådar om samma fråga. Fortsatta diskussioner hänvisas till den första tråden. /moderator

Stokastisk 3597 – Fd. Medlem
Postad: 12 nov 2017 19:59

Ja, du kan ju försöka på

2x3+4x2+3x2+3x+10

vad har denna för asymptot då x x \rightarrow \infty ?

Tråden är låst för fler inlägg

Close