Gradienten i kartesiska koordinater

Definition: Gradienten v av skalärfältet f är det unika vektorfältet vars skalärprodukt med godtycklig vektor u i punkten x är rikningsderivatan av f i rikningen som bestäms av u. Eller v•u=Dfx(u).

Tydligen är gradienten av f i kartesiska koordinater (i indexnotation) grad f = (df/dxⁱ)e_i

där d/dxⁱär partialderivatan med avseende på kartesiska koordinaten xⁱ.

Nu till min fråga. Hur kan vi utifrån definitionen av gradienten komma fram till dess representation i kartesiska koordinater?

Hur definierar du $Df_p(u)$ ? Kan du uttrycka det i indexnotation?

Förövrigt brukar man använda dualförhållandet till $df$ som definition, dvs

$<\mathrm{grad}f(p),u>=df_p(u)\quad p\in M,\, u\in T_pM$

Svara