Gradienten för randen

Min bild av detta är ett böljande landskap med kullar och dalar. En väg slingrar sig fram genom landskapet. Vad är vägens högsta punkt?

Här är landskapet funktionen. För varje punkt (x,y) har vi en höjd över havet, säg f(x,y). 

z = f(x,y) är som en duk som svävar i R³.

Området där f ska maximeras är vägen g(x,y) = C. Det är en nivåkurva i xy-planet. Den har ingen höjd över havet. Vi kan rita in den på en karta.

Eftersom vägen i sin högsta punkt sammanfaller med en nivåkurva för f (vägen går varken upp eller ned i sin högsta punkt) så blir 

grad f = konst*grad g

grad f pekar i den riktning dit f växer mest, dvs vinkelrätt mot nivåkurvan.

grad g pekar vinkelrätt mot vägens sträckning eftersom g(x,y) = C är en nivåkurva för g(x,y). 

Att det eventuellt saknas inre punkter längs kurvan betyder ju inte att kurvan är en rand för funktionen f. Sluttningen finns ju på båda sidor om vägen.

Jag vet inte om det är någon bugg i min tanke. Take or leave.

Bra förklarat! Det du hjälpte mig mest med nu var att faktiskt förstå var lagrangevillkoret kommer ifrån.

Jag blir förvirrad av denna def

Jag tänker specifikt på grad g. Eftersom g inte är en öppen mängd, utan alla randpunkter till f (ej öppen mängd), då borde inte grad g vara definierat?

Frågan gällde egentligen betydelsen av begreppet ”Randkurva”. Tolkar man det som definitionsområdets rand så är frågeställarens tvivel helt välmotiverat. Gradienten kräver inre punkter. Funktionen f kan vara singulär på hela sin rand. Begreppet randkurva kan ha en annan betydelse nämligen helt enkelt kurvan g(x,y)=0. Den ska då i sin helhet löpa inom det inre av D_f. Någon gång för mycket länge sen fick jag till mig en förklaring. När man i gymnasiet bestämde Max och min tog man först derivatans nollställen och därefter funktionens värde i randpunkterna. Dessa punkter motsvaras av en kurva om man har två dimensioner i stället för en. Därav skulle detta namn ha uppstått   om det nu är sant eller inte.

Roligt att du hade nytta av förklaringen, HannaKN. Jag var orolig att du skulle tycka det vara flum. Men det var genom att tänka på vägar i ett kuperat landskap som jag själv fick litet grepp om lagrangevillkoret.

Och tack Tomten för bra förtydligande.

Det var en väldigt underlig definition av gradient.

HannaKN skrev:

 

Jag tänker specifikt på grad g. Eftersom g inte är en öppen mängd, utan alla randpunkter till f (ej öppen mängd), då borde inte grad g vara definierat?

Jag ser det så här. Kanske enklast förklara med en karta i alla fall:

Bortse först från f, bortse från berg och dalar. I ett vanligt  xy-koordinatsystem ritar vi in en kurva g(x,y) = C. Säg att det är en skidslinga utan hörn och konstigheter. Genom att variera C kan vi få slingan att svälla eller krympa, ändra form på olika sätt. 

grad g är då en vektor som visar i vilken riktning en punkt momentant rör sig när C ändras. Detta beror inte av f utan bara av om g är partiellt deriverbar. 

Sedan lägger vi på f. På ett genomskinligt overheadblad har vi ritat in nivåkurvor för f. I min bild markerar dessa ”höjd över havet”. Här ger grad f  = (df/dx, df/dy) ”den riktning i vilken det är brantast” dvs i vilken riktning f växer snabbast. Denna riktning antar vi vara vinkelrät mot nivåkurvan som ju markerar konstant höjd.. 

Min poäng är att när vi bestämmer grad g behöver vi inte bekymra oss om huruvida f har partiella derivator. grad g kan bestämmas oberoende av vilket f vi sedan lägger på, grad g talar bara om hur kurvan ändras när C ändras och det sker hela tiden vinkelrätt mot kurvan.

Men om f är osmooth, om det varit ett ras vid vägen, då kan vi ha problem. Fast det beror inte på att g skulle sakna inre punkter.