gradient uppgift

Berget Vretos i Grekland beskrivs i lämpliga enheter av

$z = \frac{1}{100} (50 - x^{2} - y^{2})$

Vid en vandring från byn Laros med koordinaterna (7, -1, 0) till byn Didos med koordinaterna (-1, 3, 0.4) går man på en stig vars projektion på xy-planet är den räta linjen från (7, -1, 0) till (-1, 3, 0). Var är det brantast uppför respektive nerför i stigens riktning och hur stora är lutningarna där? Fikapausen tar man lämpligen i den punkt där det är plant i stigens riktning. Var är det?

jag har påbörjat uppgiften såhär

$g (x, y, z) = \frac{1}{100} (50 - x^{2} - y^{2}) - z$
då får jag $g r a d g (x, y, z) = (\frac{- 2 x}{100}, \frac{- 2 y}{100}, - 1)$
jag har nu beräknat riktningsvektorn med hjälp av xy-planets punkter och normerat den till längd 1.
$v = \frac{1}{\sqrt{5}} (2, - 1, 0)$
ska jag nu bara köra gradienten på båda punkterna för att se vilken som har högst respektive lägst lutning utav dem eller behöver jag veta om det finns nått ställe mitt emellan som som har större lutning osv?
och när jag ska beräkna punkten där dom ska ha vilopaus sätter jag bara gradienten lika med 0? för att hitta en lösning för x och y för att sedan få z värdet i ursprungsfunktionen eller tänker jag fel?

Eftersom stigens projektion på xy-planet är en rät linje så passar det att parametrisera med en rät linje $x(t)=7 - 8t$ och $y(t)=-1 + 4t$ där t varierar mellan 0 och 1. Det går då att skriva funktionen $z(x(t),y(t))$ så att den endast beror på $t$ . Då kommer $\frac{dz(t)}{dt}$ representera lutningen längs med stigen där du kan undersöka vart det är brantast uppför respektive nedför. Du kommer även kunna hitta en punkt där det är plant i stigens riktning.

Svara