Gradient rätvinklig till nivåkurvan

Din bild är nästan omöjlig att läsa för mig, trots att jag öppnar bilden i en annan flik och förstorar. 

(Om jag tolkar dig rätt:) Jämför med höjdkurvorna på en karta. De visar var höjden har ett visst värde, d v s h'(vadsomhelst) = 0 definitionsmässigt.

Betrakta(där fick man in ett fancy ord) en nivåkurva $f(x,y)=c$ av någon funktion, nivåkurvan kommer bilda en kurva för alla x,y värden som f(x,y)=c. Vi parametriserar denna kurva med x(t), y(t).

Vi har att funktionen $f\left(x\right(t),y(t\left)\right)=c$ nu deriverar vi båda sidorna med avseende på 't', vi får 

$\frac{df}{dx}\frac{dx}{dt}+\frac{df}{dy}\frac{dy}{dt}=0$ detta är samma sak som skalärprodukten $\left(\begin{array}{cc}\frac{df}{dx}& \frac{df}{dy}\end{array}\right)·\left(\begin{array}{cc}\frac{dx}{dt}& \frac{dy}{dt}\end{array}\right)=0$

$\left(\begin{array}{cc}\frac{df}{dx}& \frac{df}{dy}\end{array}\right)$är ju bara gradienten av f och $\left(\begin{array}{cc}\frac{dx}{dt}& \frac{dy}{dt}\end{array}\right)$ är tangent vektorer alltså är beviset färdigt. 

(inte samma bevis som på tavlan)

Kallaskull skrev:

Betrakta(där fick man in ett fancy ord) en nivåkurva $f(x,y)=c$ av någon funktion, nivåkurvan kommer bilda en kurva för alla x,y värden som f(x,y)=c. Vi parametriserar denna kurva med x(t), y(t).

Vi har att funktionen $f\left(x\right(t),y(t\left)\right)=c$ nu deriverar vi båda sidorna med avseende på 't', vi får 

$\frac{df}{dx}\frac{dx}{dt}+\frac{df}{dy}\frac{dy}{dt}=0$ detta är samma sak som skalärprodukten $\left(\begin{array}{cc}\frac{df}{dx}& \frac{df}{dy}\end{array}\right)·\left(\begin{array}{cc}\frac{dx}{dt}& \frac{dy}{dt}\end{array}\right)=0$

$\left(\begin{array}{cc}\frac{df}{dx}& \frac{df}{dy}\end{array}\right)$är ju bara gradienten av f och $\left(\begin{array}{cc}\frac{dx}{dt}& \frac{dy}{dt}\end{array}\right)$ är tangent vektorer alltså är beviset färdigt. 

(inte samma bevis som på tavlan)

Tack, mycket tydligare!