Gradient och riktningsderivata

Hej!

Uppgift:

En kulle har en form som ges av

 $z =\frac{32}{1+x^2+y^2}$

där $z$ är kullens höjd i m. På vilken höjd är kullen brantast?

Tips: Var är ${\left|grad z\right|}^2$ störst?

Lösning:

Om jag sätter att |grad z|=g(x,y) så vill jag veta var maximipunkterna för g(x,y) är. Om jag då räknar ut för vilka x och y som |grad g|=h(x,y)=0 så kan jag räkna ut maximipunkterna för g(x,y) och därmed var kullen är brantast. För att göra uträkningarna lite "finare" så sätter jag istället att g(x,y)=|grad z|^2 och h(x,y)=|grad g|^2 utan ändrat resultat för x och y.

 $z=f(x, y)$

 ${\left|grad f\right|}^2=\frac{{64}^2(x^2+y^2)}{(1+x^2+y^2{)}^4}=g(x, y)$

 ${\left|grad g\right|}^2=2^2\times {64}^4\left(x^2+y^2\right){\left(\frac{1}{\left(1+{\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2\right){\displaystyle {}^7}}-\frac{4\left({\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2\right)}{\left(1+{\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2\right){\displaystyle {}^5}}\right)}^2=h(x, y)$

Nu vill jag veta nollställena för $h(x, y)$.

$h(0, 0)=0$ ser man snabbt, men är det det enda nollstället? Man kan också se att $h(x, y)=0$ då 

 $\frac{1}{\left(1+{\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2\right){\displaystyle {}^7}}=\frac{4\left({\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2\right)}{\left(1+{\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2\right){\displaystyle {}^5}} \iff \left(x^2+y^2\right){\left(1+x^2+y^2\right)}^2=\frac{1}{4}$

men här börjar jag inse att jag kanske ska lösa uppgiften på något annat sätt, då denna ekvation är lite svår att lösa. Någon som kan se var/hur/om jag har tänkt fel?