Gradient och kurvor

Hej, behöver hjälp med uppgift a:

punkten ligger ju utanför ellipsen eftersom den inte uppfyller ekvationen och jag undrar hur man ska göra då? Vet hur man gör om punkten faktiskt ligger på ellipsen men hur fungerar det då den ligger utanför?

Det är ungefär som uppgifter i gymnasiet typ "hitta tangenterna till y = x² som också går genom (1, -1)". Man behöver derivatan.

Jag löser ut gradienten som blir

$\nabla f (2 x + y, 2 y + x)$

och sedan tar jag

$(2 x + y, 2 y + x) \cdot ((x - y) - (0, 2)) = 0$

men detta verkar bli fel och jag är inte helt med på det

Du menar kanske (x, y), inte (x-y)?

Om du kombinerar det du gör med kravet att (x, y) ska ligga på ellipsen så borde du få tangeringspunkten, men det är inte samma sak som ekvationen för tangenten.

Hoppas min metod hjälper dig.

$O m v i s ä g e r a t t p u n k t e n ä r A (0, 2) o c h \tan g e r i n g s p u n k t e n ä r T (a, b) d å g ä l l e r a t t : T a n g e n t e n A T h a r l u t n i n g e n k = \frac{b - 2}{a - 0} = \frac{b - 2}{a} Å a n d r a s i d a n h a r \tan g e n t e n l u t n i n g e n k = y' (a, b) V i i m p l i c i t d e r i v e r a r e l l i p s e n s e k v a t i o n 2 x + y + y' x + 2 y y' = 0 \Leftrightarrow y' (2 y + x) = - 2 x - y \Rightarrow y' = \frac{- 2 x - y}{2 y + x} \Rightarrow k = y' (a, b) = \frac{- 2 a - b}{2 b + a} D e t t a g e r a t t \frac{b - 2}{a} = \frac{- 2 a - b}{2 b + a} o c h n ä r m a n f ö r e n k l a r d e t t a s å f å r m a n 2 b^{2} + 2 a^{2} + 2 a b - 4 b - 2 a = 0 \Leftrightarrow b^{2} + a^{2} + a b - 2 b - a = 0 M e n T (a, b) l i g g e r p å e l l i p s e n \Rightarrow b^{2} + a^{2} + a b = 1 (*) \Rightarrow 1 - 2 b - a = 0 \Rightarrow a = 1 - 2 b V i b y t e r d e t t a i (*) s å f å r v i b^{2} + {(1 - 2 b)}^{2} + (1 - 2 b) b = 1 o m v i f ö r e n k l a r V L s å f å r v i (b = 0 e l l e r b = 1) S å d e t ä r t v å \tan g e r i n g s p u n k t e r (1, 0) o c h (- 1, 1)$

Kommer du vidare?

Här kommer en bild på det:

Yes löste den nu tack så mycket!

Svara

Visa senaste svar