Gradient mm

I (a) uppgiften har jag svarat

$\nabla h(x,y)=-\dfrac{40000x}{(3+x^2+2y^2)^2}-\dfrac{80000y}{(3+x^2+2y^2)^2} \Rightarrow \nabla h(3,2)=100(-3i-4j)$

I ord skriver jag att flödet är i riktning av $-3i-4j$ duger det som svar? facit säger

Behöver även lite hjälp med (b), (c) och (d), hur kan jag börja med (b)?

b) På kartan så är tangenten till kurvan alltid parallell med gradienten av h.

Vi kan skriva det som att en infinetesimal förförlyttning $d \vec{r}$ längs kurvan skall uppfylla

$d \vec{r} = (d x, d y) = λ \nabla h = λ (\frac{\partial h}{\partial x}, \frac{\partial h}{\partial y})$ , vilket ger

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{\partial h}{\partial y}}{\frac{\partial h}{\partial x}}$ = $2 \frac{y}{x}$ . En enkel diffekvation.

c) Om vi rör oss ett litet (infinetesimalt) stycke $d \vec{r}$ på kartan så leder det till en liten höjdändring dh. Om stigningen skall vara 15 $°$ relativt horisontalen så skall det gälla att

$\tan 15^{°} = \frac{d h}{||d \vec{r}||}$ .

Vi kan vidare utnyttja att $d h = \nabla h ∙ d \vec{r}$ .

d) h är konstant om nämnaren är konstant. Utnyttja vidare vad du kom fram till i b).

Tillägg: 19 feb 2023 18:56

Såg inte att de använde olika enheter på h (meter) och x och y (km). Du måste ta hänsyn till detta när du löser c).

PATENTERAMERA skrev:
b) På kartan så är tangenten till kurvan alltid parallell med gradienten av h.

jag antar att du menar att tangenten är vinkelrät mot gradienten?

är r positionsvektorn? Och den infinitesimala förflyttningen är för att säkertställa att vi rör oss vinkelrätt ut från tangenten? Så delta måste vara ett infinitesimalt tal?

sorry många frågor, är något fel i det jag skrev?

Nej, tangenten till kurvan skall vara parallell med gradienten till h. Det står att strömmen flyter i riktningen vars horisontella projektion är parallell med gradienten.

Svara

Visa senaste svar