Gradient

Hej, hoppas någon kan hjälp mig att förstå detta lite snabbt. Jag hänger med på att ¨Gradienten ∇f (a, b) är en normalvektor till den nivåkurva till f som går genom punkten (a, b)¨ och att ¨När du har en parameterframställning för ytan S:τ=τ(θ,φ)τ=τ(θ,φ) bildar kryssprodukten

$n = \frac{\partial τ}{\partial θ} \times \frac{\partial τ}{\partial φ}$

en normal till ytan S.

Men jag undrar dock om jag har en form/yta som till ex: $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4$ z => 1 om det går att bara ta gradienten av ekvationen? Ni får gärna klargöra det för mig. gäller regeln bara kurvor eller har jag missförstått det hela.

Gradienten kan jämföras med tangenten till en kurva i en dimension, dvs gradienten är en tangentvektor till planet. En normalvektor är en vektor som är normal till planet.

I ditt exempel är

$x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4$

inte en funktion utan ett villkor för en yta. Det vill säga punkterna på ytan ska uppfylla det villkoret. Men om det istället stått

$f (x, y, z) = x^{2} + y^{2} + z^{2}$

då kan gradienten

$\nabla f (x, y, z)$

beräknas.

Testa. Du vet ju att ytan är en halvsfär, och vår geometriska intuition säger oss att då är normalvektorn n(p) till ytan i en punkt p parallell med ortsvektorn r(p) till punkten. n(p) $~$ r(p).

Svara