Gradient 2

Gradienten är din riktning för tangentlinjen, inte någon punkt på linjen.

Micimacko skrev:

Gradienten är din riktning för tangentlinjen, inte någon punkt på linjen.

Men gradienten i en punkt är vinkelrät med tangenten i den punkten?

Micimacko skrev:

Gradienten är din riktning för tangentlinjen, inte någon punkt på linjen.

Ett annat exempel för att understryka detta,

$f \left( x,y \right) = x^2+y^2$

Nivåkurvan $x^2+y^2-8=0$

$\nabla f \left( 2,2 \right) = \left( 4,4 \right)$

Ja men du har dragit linjen helt fel. Den ska inte ner genom punkten som egentligen ska vara en riktning.

Micimacko skrev:

Ja men du har dragit linjen helt fel. Den ska inte ner genom punkten som egentligen ska vara en riktning.

Intressant, du har alltså adderat punktens x och y värde med riktningen för att få den andra endan av vektorn. Men om jag hänvisar till post #4 så görs det inte där utan vektorn har start i $(2,2)$ och slut i $\nabla f \left( 2,2 \right)= \left( 4,4 \right)$

Det har nog bara råkat ritas så, det finns absolut inget som säger att det ska ritas på det sättet. Ofta ignorerar man längden på gradienten i den här typen av bilder och ritar så långt det ser bra ut.

Micimacko skrev:

Det har nog bara råkat ritas så, det finns absolut inget som säger att det ska ritas på det sättet. Ofta ignorerar man längden på gradienten i den här typen av bilder och ritar så långt det ser bra ut.

Väldigt konstigt denna sats säger att gradientvektorn i en punkt alltid är ortogonal till tangenten i den punkten?

Ja det är den ju på min bild. Du kan också ta fram tangentvektorn och testa med skalärprodukt. Din gradient är (3, -4)/25, din röda pil pekar åt ett helt annat håll. Det gör iofs min också, den borde gå in mot cirkeln ser jag.

Micimacko skrev:

Ja det är den ju på min bild. Du kan också ta fram tangentvektorn och testa med skalärprodukt. Din gradient är (3, -4)/25, din röda pil pekar åt ett helt annat håll. Det gör iofs min också, den borde gå in mot cirkeln ser jag.

Tack ska du ha för all hjälp. Smart ide att testa med skalärprodukten för att konstatera att de är vinkelräta.  Om du kollar på den theorem 6 jag skicka, det verkar ju inte stämma att om vi drar en rät linje genom $\nabla f \left( 1,2 \right)$ och $(1,2)$ så är det ingen normalvektor till nivåkurvan. På din bild har du ju adderat startpunkten till $\nabla f \left( 1,2 \right)$ men th. 6 säger ju inget om att addera startpunkten? hur vet jag när jag ska addera startpunkten till gradienten i punkten? boken säger inget om det.

Han har inte adderat. Han har bara placerat vektorn (gradienten) så att dess fotpunkt hamnar i den punkt där gradienten har beräknats, vilket känns naturligt. Du har ju en gradientvektor i varje punkt och det är väl logiskt att rita in dessa vektorer så att de utgår från de punkter till vilka de associeras.

PATENTERAMERA skrev:

Han har inte adderat. Han har bara placerat vektorn (gradienten) så att dess fotpunkt hamnar i den punkt där gradienten har beräknats, vilket känns naturligt. Du har ju en gradientvektor i varje punkt och det är väl logiskt att rita in dessa vektorer så att de utgår från de punkter till vilka de associeras.

Okej jag tror jag är med nu. Från punkten (1,2) ska jag röra mig 3/25 i x-led och -4/25 i y-led. Min lärare använde sig av problemet i #4 youtubelänk  (se 4:38), men här så tar han $\nabla f \left( 2,2 \right)=\left( 4,4 \right)$ och använder det som en punkt, men det är ju ingen punkt utan en vektor. Så gör han inte fel då? Nu går ju normalen genom den punkten ändå, men själva resonemanget är väl fel? Egentligen ska han väl röra sig från (2,2) och 4 steg i x-led och 4 steg i y-led?

Tror bara han uttryckte sig lite slarvigt. Han menade nog att gradienten var lika med (4, 4) och inte att spetsen hamnade i punkten (4, 4).