Gradient

Hej, jag skulle behöva lite hjälp med följande uppgift:

Berget Vretos i Grekland beskrivs i lämpliga enheter av

$z = \frac{1}{100} (50 - x^{2} - y^{2})$ , $x^{2} + y^{2} \leq 50$

Vid en vandring från byn Laros med koordinaterna (7,-1,0) till byn Didos med koordinaterna (-1,3,0,4) går man på en stig vars projektion på xy-planet är den räta linjen från (t,-1,0) till (-1,3,0). Var är det brantast uppför respektive nerför i stigens riktning och hur stora är lutningarna där? Fikapausen tar man lämpligen i den punkt där det är plant i stigens riktning. Var är det?

Hittills har jag börjat med att sätta f(x,y)= $\frac{1}{100} (50 - x^{2} - y^{2})$

Lutningen fick jag av riktningsderivatan $f ´_{v} = g r a d f \times v$ och av det fick jag (-1,3)-(7,-1)=(-8,4)=(-2,1)

Nästa steg är att sätta v= $\frac{1}{\sqrt{5}} (- 2, 1)$ men jag vet inte hur dom får $\frac{1}{\sqrt{5}}$

Det är inte kristallklart vad du gör, men $\frac{1}{\sqrt{5}}$ får du om du normaliserar vektorn v.

Jag tyvärr fortfarande inte säker på hur jag får fram $\frac{1}{\sqrt{5}}$

Vad är längden av vektorn (-2,1)?

(-2,1) blir väl -1

En vektor är en pil från origo till punkten (-2,1). Har du inte hört talas om det?

ja fel av mig, 3 ska det blir då som ett absolutbelopp $|- 2, 1|$

Du behöver använda Pythagoras sats för att beräkna längden av en vektor (om inte vektorn råkar vara parallall med någon av koordinataxlarna). Man brukar kalla det avståndsformeln, men det är samma gamla Pythagoras.

okej så med avståndsformeln för en vektor blir det väl $\sqrt{- 2^{2} + 1^{2}}$ $= \sqrt{4 + 1}$ = $\sqrt{5}$ så nu vet jag var $\sqrt{5}$ kommer ifrån.

Efter det ska nästa steg vara att sätta $f ´_{v} = - \frac{1}{50} (x, y) \times \frac{1}{\sqrt{5}} (- 2, 1) = \frac{1}{50 \sqrt{5}} (2 x - y)$

Sedan ska y blir y= $\frac{1}{2} (5 - x)$ så att man får lösningen $f ´_{v} = \frac{1}{50 \sqrt{5}} (2 x - \frac{1}{2} (5 - x)) = \frac{1}{50 \sqrt{5}} \times \frac{5}{2} (x - 1) = \frac{1}{20 \sqrt{5}} (x - 1)$

Svaret ska sedan bli att Den avtar från $\frac{3}{10 \sqrt{5}} = \frac{3 \sqrt{5}}{50}$ vid x=7, till 0 vid x=-1, och $- \frac{1}{10 \sqrt{5}} = - \frac{\sqrt{5}}{50}$ vid x=-1

dvs max lutning $\frac{3 \sqrt{5}}{50}$ i Laros, min lutning $- \frac{\sqrt{5}}{50}$ i Didos, fikapaus i (1,2,0,45)

Jag tror att jag är med fram till när man ska räkna ut när lutningen avtar där är jag inte säker på hur dom får fram siffrorna.

Vet du varifrån $-\frac{1}{50}(x,y)$ kommer? Vet du vad $\times$ betyder? Vet du varför $y=\frac{1}{2}(5-x)$ ?

jag är inte riktigt säker jag trodde att $- \frac{1}{50} (x, y)$ kom från z= $\frac{1}{100} (50 - x^{2} - y^{2})$ jag vet inte om det är rätt

På sätt och vis, det är gradienten. Vet du vad gradienten är? Vet du vad × betyder? Vet du varför y=12(5−x)?

jag vet formeln för gradienten är gradf= $(\frac{d f}{d x}, \frac{d f}{d y}, \frac{d f}{d z})$ dock har jag lite problem med att sätta in det i $\frac{1}{100} (50 - x^{2} - y^{2})$

Du kan säkert derivera 1/100(50-x^2-y^2) med avseende på x. Försök!

om jag deriverar med avseende på x och håller y konstant, får jag inte -2x-y^2?

annars om man ska hålla samtliga termer konstanta utom x får vi 1/100(50-2x-y^2)

Om du deriverar x^2+17 får du 2x, eller hur? Inte 2x+17. Försök igen!

ja det är jag med på och det enda jag har i detta fall är -2x

Bra, och hur blir y-derivatan och z-derivatan?

då blir väl y-derivatan -2y men jag är inte så säker på z

Det är som att derivera funktionen f(z) = 17.

men tar jag derivatan av 17 får jag ju inget kvar.

Exakt. Du får att f'(z) = 0. Vad blir alltså gradienten?

då har jag alltså kvar -2x,-2y

jnkpg skrev :
jag vet formeln för gradienten är gradf= $(\frac{d f}{d x}, \frac{d f}{d y}, \frac{d f}{d z})$ dock har jag lite problem med att sätta in det i $\frac{1}{100} (50 - x^{2} - y^{2})$

Nu vet du vad f'(x), f'(y) och f'(z) är, så sätt in dem i gradienten! Vad blir grad f?

då blir väl grad f(-2,-2,0) då jag får -2 om jag deriverar -2x-2y m.a.p.x och -2 då jag deriverar m.a.p.y

Du HAR redan deriverat funktionen med avseende på x, y och z. Du skall bara sätta in de uträknade uttrycken, inte derivera en gång till!

Svara

Visa senaste svar