Gör en funktion

Prova med de faktorer du själv föreslår:

Sätt  y = f(x) = (x+3)(x-2)^2

Det är ju en tredjegradsfunktion. Kolla hur den ser ut. 

Arktos skrev:

Prova med de faktorer du själv föreslår:

Sätt  y = f(x) = (x+3)(x-2)^2

Det är ju en tredjegradsfunktion. Kolla hur den ser ut. 

Det kommer bli en tredje gradare men en minimi och ett dubbel rot som är en minimi punkt på x-axeln. Problemet är inte att jag inte vet hur den ser ut. Jag vet att derivatan och andra derivatan ska vara det samma och att tecken växlingen av derivata skall antingen vara +0+ eller-0-. Problem kommer i att plocka fram en funktion. Jag inser att man  kan välja en punkt och därefter börja lösa den: ta som exempel. 

(x-c)^2(x+3) därefter kan man ju bryta ut x och c. Men jag kommer inte framtill en lösning. 

"Det kommer bli en tredje gradare men en minimi och ett dubbel rot som är en minimi punkt på x-axeln."

Kurvan borde gå nerifrån och upp och ha ett max  för  x=-3.  Blir det det inte så?
Hur ser derivatan ut?  Den är ju en andragradare och lätt att rita.
Är det möjligt för en tredjegradare att ha både ett max o en terrasspkt?

Arktos skrev:

"Det kommer bli en tredje gradare men en minimi och ett dubbel rot som är en minimi punkt på x-axeln."

Kurvan borde gå nerifrån och upp och ha ett max  för  x=-3.  Blir det det inte så?
Hur ser derivatan ut?  Den är ju en andragradare och lätt att rita.
Är det möjligt för en tredjegradare att ha både ett max o en terrasspkt?

oj, ber om ursäkt. Men principen är där, mina regler fungerar fortfarande och jag vill bara veta hur jag gör för att få fram en funktion, inget mer. 

OK.  Och jag ser att jag läste lite snett nyss.
Det är ju f(x) som har sitt minsta nollställe för x=3  (och inte f'(x)).
Sådana fel slipper man om man ritar innan man skriver...

Vet du nu hur man kan skriva en funktion, om det är ett polynom?

Du skulle kunna skissa på papper en 3-gradare - finns det möjlighet att den grafiskt sett, kan ha både max och terasspunkt?
Se speciellt hur grafen ser ut då $x\to \infty och x\to -\infty$

Henning skrev:

Du skulle kunna skissa på papper en 3-gradare - finns det möjlighet att den grafiskt sett, kan ha både max och terasspunkt?
Se speciellt hur grafen ser ut då $x\to \infty och x\to -\infty$

Ja, den kan ju grafiskt sett ha en max och en terraspunkt, saken jag försöker få fram är hur jag med en metod kan hitta exempelvis en funktion som har både en terras och en maxima punkt. 

Här har ni grafen av funktionen jag skrev tidigares om ni ser blir det ju fel.

Det jag vill få fram är en generell metod att få fram en tredje gradare med två extremt punkter där ena är en terraspunkt

Men funktionen kommer ju nerifrån vänstra hörnet i koordinatsystemet och försvinner upp mot högra hörnet - eller tvärtom beroende på tecknet framför $x^3-termen$
Och då har jag svårt att i detta få in både ett max och enterasspunkt

Henning skrev:

Men funktionen kommer ju nerifrån vänstra hörnet i koordinatsystemet och försvinner upp mot högra hörnet - eller tvärtom beroende på tecknet framför $x^3-termen$
Och då har jag svårt att i detta få in både ett max och enterasspunkt

Oj det tänkte jag inte ens på, ifall vi gör det till en fjärdegradare då? 

Ja, du kan även analytiskt, bokstavsräknande, upptäcka att det är omöjligt.
Ansätt t ex $f\left(x\right) = a x^3+ b x^2 + cx+ d$
Ta fram första och andra derivatan och andraderivatan ska ju vara =0 för terasspunkten 
Då kommer du också att upptäcka att denna trdjegradare bara kan ha en terasspunkt och inga fler extremvärden

Henning skrev:

Ja, du kan även analytiskt, bokstavsräknande, upptäcka att det är omöjligt.
Ansätt t ex $f\left(x\right) = a x^3+ b x^2 + cx+ d$
Ta fram första och andra derivatan och andraderivatan ska ju vara =0 för terasspunkten 
Då kommer du också att upptäcka att denna trdjegradare bara kan ha en terasspunkt och inga fler extremvärden

Blir inte bli för många variabler för att lösa?  eller har jag missförstått mig? 

här har du en graf som uppfyller din krav:

y=sin(2x)-2sin(x)

oneplusone2 skrev:

här har du en graf som uppfyller din krav:

y=sin(2x)-2sin(x)

Hur kommer man fram till en sådan? 

Om f(x) är ett polynom med en extrempunkt i x=-3 och en terasspunkt i x=2 så vet du detta om derivatan:

$f'(x) = k(x+3)(x-2)^2$

Kurvans lutning är alltså 0 när x=-3 och när x=2, men kvadraten gör att lutningen inte byter tecken kring x=2. Extrempunkten är max eller min beroende på om k är negativt eller positivt.

Att hitta f(x) ur detta innebär att bestämma en primitiv funktion till f'(x). Det görs nog lättast genom att utveckla alla parenteser och sen gå igenom en term i taget. Resultatet kan sen se ut så här. (k valt till -1)

Skaft skrev:

Om f(x) är ett polynom med en extrempunkt i x=-3 och en terasspunkt i x=2 så vet du detta om derivatan:

$f'(x) = k(x+3)(x-2)^2$

Kurvans lutning är alltså 0 när x=-3 och när x=2, men kvadraten gör att lutningen inte byter tecken kring x=2. Extrempunkten är max eller min beroende på om k är negativt eller positivt.

Att hitta f(x) ur detta innebär att bestämma en primitiv funktion till f'(x). Det görs nog lättast genom att utveckla alla parenteser och sen gå igenom en term i taget. Resultatet kan sen se ut så här. (k valt till -1)

Så min lösningsmetod skulle fungerat då jag använt k? Samt man behöver ingen fjärdegradare för att få en max och terras? 

Jo, derivatan är en tredjegradare, vilket innebär att f(x) är av fjärde graden.

Skaft skrev:

Jo, derivatan är en tredjegradare, vilket innebär att f(x) är av fjärde graden.

oj, ber så mycket om ursäkt, läste lite försnabbt där förlåt mig. Jag förstår däremot inte hur du kom fram till at 2 är en terraspunkt, att den inte teckenväxlar innebär ju också att den kan en dubbelrot? 

Att kurvans lutning går till noll men utan byta tecken måste väl innebära att det är en terasspunkt?

Om derivatan är +, sen noll, sen + betyder det att kurvan lutar uppåt, sen inget, sen uppåt.

Om derivatan istället är -, sen noll, sen - betyder det att kurvan lutar nedåt, sen inget, sen nedåt.

Terasspunkt i båda fall.

Skaft skrev:

Att kurvans lutning går till noll men utan byta tecken måste väl innebära att det är en terasspunkt?

Om derivatan är +, sen noll, sen + betyder det att kurvan lutar uppåt, sen inget, sen uppåt.

Om derivatan istället är -, sen noll, sen - betyder det att kurvan lutar nedåt, sen inget, sen nedåt.

Terasspunkt i båda fall.

ja, det är ju sant, jag tänkte på andra derivatan.