Godtagbart svar? (rad/grader)

Det du har skrivit är inte ett bevis för att 300^o = $$3\pi$$ radianer.

Du har tagit ett sant påstående och förvandlat det till ett annat sant påstående - det bevisar ingenting.

Börja med det ena ledet och omforma det steg för steg tills du når fram till det andra ledet.

Jag blir tvyärr inte övertygad av ditt argument.

Det du har gjort är att du har tagit påståendet du ville visa, och sedan manipulerat det genom att utföra operationer både till höger och till vänster, tills dess att du har fått en likhet som vi helt säkert vet är sann.

Problemet är bara att alla påståenden, även falska påståenden, går att manipulera på ett sådant vis att vi får ett garanterat sant påstående i slutändan. Titta bara på de här "fejk-bevisen":

Påstående 1: $\pi=0$.

Fejkbevis: $\pi=0\Longrightarrow \sin(\pi)=\sin(0)\Longrightarrow 0=0$.

Påstående 2: $1=2$.

Fejkbevis: $1=2\Longrightarrow 0\cdot 1=0\cdot 2\Longrightarrow 0=0$.

Däremot tycker jag att du skulle kunna få till ett övertygande argument om du vänder på ordningen på raderna, och i stället arbetar dig nerifrån och upp. Typ så här:

• Vi vet per definition att $180^\circ =\pi$.
• Alltså måste $5\cdot 180^\circ=5\pi$ gälla, dvs. $900^\circ=5\pi$.
• Detta i sin tur måste innebära att $\frac{900^\circ}{3}=\frac{5\pi}{3}$, dvs. $300^\circ=\frac{5\pi}{3}$, vilket skulle visas!

Notera: I mina löjliga motexempel ovan så hade det inte fungerat att bara vända på ordningen på beviset på det här sättet. Det finns t.ex. ingenting som säger att 0=0 skulle medföra att 1=2.

Lite visdomsord: En bra tumregel är att man i ett bevis aldrig ska anta det man vill visa. Formulera i stället beviset så att du utgår från givna antaganden och saker som du redan vet är sant, och sedan visar hur detta leder fram till det du ville visa.

Men det allra enklaste i det här fallet är nog ändå att en gång för alla göra följande observation:

• Vi vet att $180^\circ = \pi$.
• Genom att dividera båda led med 180 får vi $1^\circ =\frac{\pi}{180}$.
• Det betyder att vi rent allmänt har formeln $a^\circ =a\cdot\frac{\pi}{180}$.

Detta är vad bokens facit har utnyttjat!

Prova gärna att använda den på något annat exempel (hur många radianer är t.ex. 1080 grader?). Prova också att ta fram en formel för konvertering i andra riktningen: från radianer till grader!

Dock om man kan visa att ett antal påståenden är logiskt ekvivalenta, så räcker det med att man vet att ett påstående är sant för att veta att alla är sanna.