globalt maximum

Om funktionen är deriverbar är derivatan noll i ett globalt maximum.

En funktion som är kontinuerlig på $\mathbb{R}$ och har ett globalt maximum i $x=3$, men vars derivata är odefinierad där är $f(x)=-|x-3|$.

Eftersom uppgiften inte heller ställer några krav på att funktionen skall vara kontinuerlig kan man så klart också ta funktionen:

$f\left(x\right)=\{\begin{matrix}1\ \text{ifall}\ x=3\\0\ \text{ifall}\ x\neq3\end{matrix}$

som har ett globalt maximum i $x=3$, men är varken kontinuerlig eller deriverbar där.

AlvinB skrev:

Om funktionen är deriverbar är derivatan noll i ett globalt maximum.

En funktion som är kontinuerlig på $\mathbb{R}$ och har ett globalt maximum i $x=3$, men vars derivata är odefinierad där är $f(x)=-|x-3|$.

Eftersom uppgiften inte heller ställer några krav på att funktionen skall vara kontinuerlig kan man så klart också ta funktionen:

$f\left(x\right)=\{\begin{matrix}1\ \text{ifall}\ x=3\\0\ \text{ifall}\ x\neq3\end{matrix}$

som har ett globalt maximum i $x=3$, men är varken kontinuerlig eller deriverbar där.

Så ett globalt maximum är alltså samma sak som ett största värde? 

AlvinB skrev:

Om funktionen är deriverbar är derivatan noll i ett globalt maximum.

Detta är fel. Om funktionen är deriverbar överallt på sin definitionsmängd och det globala maximum antas i det inre av definitionsmängden så har derivatan ett nollställe där.

Som ett motexempel till det du skriver kan du ta funktionen $f:[0,1]\to[0,1]$ definierad av $f(x) = x^2.$ Funktionens globala maximum är $1$ och antas när $x=1$, men funktionens derivata har inte ett nollställe där.

Albiki skrev:

AlvinB skrev:

Om funktionen är deriverbar är derivatan noll i ett globalt maximum.

Detta är fel. Om funktionen är deriverbar överallt på sin definitionsmängd och det globala maximum antas i det inre av definitionsmängden så har derivatan ett nollställe där.

Som ett motexempel till det du skriver kan du ta funktionen $f:[0,1]\to[0,1]$ definierad av $f(x) = x^2.$ Funktionens globala maximum är $1$ och antas när $x=1$, men funktionens derivata har inte ett nollställe där.

Jag utgick ifrån det som står i uppgiften, nämligen att funktionens definitionsmängd är $\mathbb{R}$. Då ligger alla punkter i det inre av definitionsmängden eftersom de reella talens inre utgörs av de reella talen själva ($\mathbb{R}$ har inga randpunkter).

Ändrar man på definitionsmängden är det klart att det finns andra möjligheter.