Givet Poisson process, visa att ... är en Martingale

Hej,

Har en Poisson process X(t), med $λ > 0$ , ska visa att: $x (t) - λ t$ här en Martingale.

Alltså, jag ska gå igenom de två kriterierna för en Martingale och visa att uttrycket uppfyller dessa.

Står såhär i boken:

$E (|X (t) - λ t|) \leq E (X (t) + λ t = 2 λ t < \infty$ vilket jag är med på.

Sen har vi att, om t.ex M_n är en Martingale så ska: $E (M_{n + 1} | F_{n}) = M_{n}$

Lösning i boken:

$E (X (t) - λ t | F_{s}) = E (X (s) - λ t + X (t) - X (s) | F_{s}) = E (X (s) - λ t | F_{s}) + E (X (t) - X (s) | F_{s})$ = {här tappar dom mig} = $X (s) - λ t + E (X (t) - X (s)) = X (s) - λ t + λ (t - s) = X (s) - λ s$

Antar att kontentan av det vi visat är att om: $M_{t} = X (t) - λ t o c h M_{s} = X (s) - λ s$ så har vi visat att:

$E (M_{t} | F_{s}) = M_{s}$ , vilket är precis vad vi skulle visa. (Dock står det inte att t ≥ s men det måste det ju vara?)

Men där jag inte hänger med så tänker jag mig såhär:

Antar att: $E (X (s) - λ t | F_{s}) = X (s) - λ t, p g a a t t M_{n} = X (t) - λ t ä r F_{n} m e a s u r a b l e ?$

För då kan jag ju tillämpa att: (1) $E (Y | F_{n}) = Y$ , som gäller då Y är F_n measurble.

Men borde det inte vara krav att: $M_{s} = X (s) - λ s$ ? Alltså: $M_{s} \neq X (s) - λ t$ ? Ska jag se $Z_{s} = X (s) - λ t$ som en annan typ av Random process (alltså ej nödv. Martingale) och som jag kan tillämpa (1) på?

Antar också att: $E (X (t) - X (s) | F_{n}) = E (X (t) - X (s))$ är för att X(t) är en poisson med independent increments och att jag därför kan tillämpa "independence law" för Conditional Expectations?

Hade behöver hjälp att reda ut detta :)

Tack på förhand!

Hej,

Du har en filtration $\mathcal{F} = (\mathcal{F}_t)_{t\geq 0}$ genererad av Poissonprocessen där varje sigma-algebra $\mathcal{F}_s = \sigma(X_r : r\in[0,s])$ är genererad av slumpvariablerna till och med tidpunkt $s$ .

För Poissonprocess är ökningar $X_t-X_s$ oberoende av sigma-algebran $\mathcal{F}_s$ vilket är vad som gör din process $(M_t)_{t\geq 0}$ till en martingal med avseende på filtrationen $\mathcal{F}$ .

Albiki skrev:
Hej,

Du har en filtration $\mathcal{F} = (\mathcal{F}_t)_{t\geq 0}$ genererad av Poissonprocessen där varje sigma-algebra $\mathcal{F}_s = \sigma(X_r : r\in[0,s])$ är genererad av slumpvariablerna till och med tidpunkt $s$ .

För Poissonprocess är ökningar $X_t-X_s$ oberoende av sigma-algebran $\mathcal{F}_s$ vilket är vad som gör din process $(M_t)_{t\geq 0}$ till en martingal med avseende på filtrationen $\mathcal{F}$ .

Hmm inte säker på att jag hänger med på det du skriver. En Poissonprocess har alltid oberoende ökningar, men hur menar du med sigma-algebran? Ska jag tolka det som att: ökningen $X_{t} - X_{s}$ är oberoende av $F_{s} = σ (X_{1}, . . ., X_{s})$ och att det är därför som:

$E [X (t) - X (s) | F_{s}] = E [X (t) - X (s)]$ ?

Alltså det som det står är att förväntat antal event mellan t och s betingat vad som skett fram till tid s, är helt enkelt förväntat antal event mellan t och s. Är det korrekt om jag tolkar det hela som att hela övergången här bygger på villkoret om independent increments i Poissonprocessen?

Du vill visa att slumpvariabeln $\mathbb{E}(M_t | \mathcal{F}_s)$ är nästan-säkert lika med slumpvariabeln $M_s$ .

Nyckeln till att visa detta ligger i representationen

$M_t= M_s+(X_t-X_s)-\lambda (t-s)$ .

Eftersom $M_s$ är mätbar med avseende på sigma-algebran $\mathcal{F}_s$ och $X_t-X_s$ är oberoende av $\mathcal{F}_s$ ger räkneregler för betingat väntevärde att

$\mathbb{E}(M_t|\mathcal{F}_s) = \mathbb{E}(M_s|\mathcal{F}_s) + \mathbb{E}(X_t-X_s|\mathcal{F}_s) - \lambda(t-s)\\=M_s + \mathbb{E}(X_t-X_s)-\lambda(t-s) = M_s + \lambda(t-s) - \lambda(t-s)\\ = M_s.$

För att paret $(M,\mathcal{F})$ ska vara martingal behöver du även kontrollera att $M_t$ är mätbar med avseende på sigma-algebran $\mathcal{F}_t$ .

För detta behöver du veta hur processen $M$ är kopplad till processen $X$ som genererar filtrationen $\mathcal{F}$ . Här är det enkelt eftersom $M_t$ bestäms av endast $X_t$ via sambandet

$M_t = X_t-\lambda t$ ,

och eftersom $X_t$ är mätbar med avseende på $\mathcal{F}_t$ så är $M_t$ det också.

Aha okej, den representationen gjorde det lättare för mig att förstå. Fortfarande väldigt nytt för mig med Martingal men fattar detta exemplet nu. Tack för hjälpen! :)

Vad gäller att visa $\mathbb{E}(|M_t|)<\infty$ kan du använda att $|x| = \sqrt{x^2}$ och att kvadratrot-funktionen är konkav så att

$\mathbb{E}\sqrt{(X_t-\mu_t)^2} \leq \sqrt{\mathbb{E}(X_t-\mu_t)^2} = \sqrt{\text{Var}(X_t)}$

och för Poissonfördelning $\text{Poi}(\lambda t)$ är variansen lika med $\lambda t$ vilket ger resultatet

$\mathbb{E}|M_t| \leq \sqrt{\lambda t}.$

Du skrev inledningsvis att två villkor behövs för en martingal, men det är i själva verket tre villkor.

Ett par $(X,\mathcal{F})$ är en martingal om $X=(X_t)_{t\geq0}$ är en stokastisk process (på något sannolikhetsrum) och $\mathcal{F}=(\mathcal{F}_t)_{t\geq 0}$ är en filtration på sannolikhetsrummet sådana att

$\mathbb{E}|X_t| < \infty$ för varje $t\geq 0$
Slumpvariabeln $X_t$ är mätbar med avseende på sigma-algebran $\mathcal{F}_t$ för varje $t\geq 0$
Slumpvariabeln $\mathbb{E}(X_t|\mathcal{F_s}) = X_s$ nästan-säkert, för varje $0\leq s \leq t.$

Aha okej, jag har nog inte riktigt förstått att det är paret $(X, F_{n})$ som är en Martingal.

För, sigma - algebran, F, är definierad följande va?

$F_{t} = σ (X_{1}, . . ., X_{t})$

Generellt, nej. Men i din uppgift, ja.

Svara

Visa senaste svar