Givet en frekvensfunktion bestämm fördelningsfunktionen

Jag har lite problem med hur jag ska göra för att gå från en frekvensfuktion till en fördelningsfunktion

$f (x) = \{\begin{cases} 1 / x, 1 < = x < = e \\ 0, f ö r ö v r i g t \end{cases}$

som jag har förstått det är det 3 fall jag måste ta hänsyn till

1) då x < 1

2) då 1 <= x <= e

3) då x > e

börjar med att lösa fall 1. från frekvens funktionen vet vi att f(x) är = 0 då x < 1

detta medför att vi löser integralen

$\int_{- \infty}^{x} 0 d t = 0$

så vår fördelningsfunktionen ser nu ut såhär

$F (x) = \{\begin{cases} 0, x < 1 \end{cases}$

2 fall kvar

fall 2

1 <= x <= e

$\int_{1}^{x} f (t) d t = \ln (x) - \ln (1)$

$F (x) = \{\begin{cases} 0, x < 1 \\ \ln (x), 1 < = x < = e \end{cases}$

fall 3

då x > e

här är jag lite förvirrad på hur jag ska börja jag tänker att mitt minsta värde borde vara e och mitt största x

men löser jag

$\int_{e}^{x} f (t) d t = \ln (x) - 1$

vilket blir fel. då svaret ska vara 1

I fall 2 ska du egentligen ta integralen från minus oändligheten, och det är samma sak som att ta den från 1 och lägga till F(1), och det är ju 0 här, så det blir rätt ändå.

I fall 3 ska du också göra så. Integralen från e till x, men f är noll här, så du har fel integrand. Integralen blir noll i stället, men du ska lägga till F(e), som är 1.

Fördelningsfunktionen ( $F$ ) ges av täthetsfunktionen ( $f$ ) som integralen

$\displaystyle F(x) = \int_{-\infty}^{x}f(u)\,du$ där $-\infty < x=""><>$ .

När $-\infty < x=""><>$ är $f = 0$ vilket ger $F(x) = 0$ när $-\infty < x=""><>$ .
När $1 < x=""><>$ är $f(u) = 1/u$ där $1 < u=""><>$ vilket ger $F(x) = \ln x - \ln 1 = \ln x$ när $1 < x=""><>$ .
När $e < x=""><>$ är $f=0$ vilket ger $$F(x) = \int_{-\infty}^{1}0\,du+\int_{1}^{e} \frac{1}{u}\,du + \int_{e}^{x} 0\,du = \ln e - \ln 1 = 1.$$

Det sista fallet ger

$F(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{1}0\,du + \int_{1}^{e} \frac{1}{u}\,du + \int_{e}^{x}0\,du = \ln e - \ln 1 = 1.$

Albiki skrev:
Det sista fallet ger
$F(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{1}0\,du + \int_{1}^{e} \frac{1}{u}\,du + \int_{e}^{x}0\,du = \ln e - \ln 1 = 1.$

Varför adderar du alla integraler? i sista fallet söker vi väll bara då x > e.

Såsom från minus oändligheten till 1 varför ens ta med detta?

Fördelningsfunktion handlar ju om att plussa ihop allt som hänt innan. Mellan -oändligheten till 1 händer ingenting = blir noll.

Från 1-e händer ngt= integrera. Från e och framåt händer inget igen, så du kommer alltid stå kvar där.

Tänk på vad fördelningsfunktion betyder, alltså vad är sannolikheten att det jag väntade på hände innan den här tiden. Har du då ett intervall där det kan hända, så blir det ganska naturligt att sannolikheten är noll att det hänt innan tiden, och ett att det redan varit efter den tiden. Tex din mormor kommer ngt gång mellan kl 1 och klockan e (som vi kan avrunda till 14:45 ;). Då blir sannolikheten att hon kommit innan kl 12 0, och sannilikheten att hon kommit innan kl 4 1.

Svara

Visa senaste svar