giltigt induktionsbevis?

$V i s a a t t 5 7^{n} - 2^{n} f ö r a l l a n a t u r l i g a t a l n \geq 1$

Gjorde basfallet som stämde och sedan gjorde jag antagandet n=p

På induktionssteget sedan är jag inte helt säker på om min härledning är giltig:

$5 7^{p + 1} - 2^{p + 2} \Leftrightarrow 7^{p + 1} - 2^{p + 1} \equiv 0 (m o d 5) 7^{p + 1} - 2^{p + 1} \equiv 2^{p + 1} - 2^{p + 1} (m o d 5) 7^{p + 1} - 2^{p + 1} \equiv 0 (m o d 5)$

vilket ju visar att 5 delar uttycket.

I facit har dom gjort lite annorlunda, men är den här härledningen ett giltigt bevis eller borde jag göra på något annat sätt? Som i facit t.ex.

Du har inte gjort något vettigt induktionsantagande. Du borde visa att 5|7^p - 2^p och visa att I SÅ FALL gäller det att 5|7^p+1-2^p+1.

Däremot tycker jag att du har bevisat påståendet, men inte med hjälp av induktion. Du kunde ju precis lika gärna ha använt ditt bevis på ursprungspåståendet. Om det inte står i uppgiften att man skall använda induktion borde ditt bevis vara lika bra.

För mig ser det ut som att du har gjort ett korrekt bevis, men det är inte ett induktionsbevis! I stället har du bevisat påståendet med hjälp av vanliga regler för kongruensräkning.

Det här är ett typiskt exempel på ett problem som lätt kan lösas utan att man använder induktionsbevis, och då blir det ju lite konstlat att använda induktion. Men om du nu ska göra det så ska du använda induktionsantagandet, vilket du inte har gjort. Jag skulle börja med något i stil med att skriva om induktionsantagandet som:

$7^{p} - 2^{p} = 5 m$ , där m är ett heltal. Sedan skulle jag multiplicera båda led med 7

$7^{p + 1} - 7 * 2^{p} = 7 * 5 m$

Därefter kan man utnyttja att 7=2+5

$7^{p + 1} - (2 + 5) * 2^{p} = 7 * 5 m 7^{p + 1} - 2 * 2^{p} - 5 * 2^{p} = 7 * 5 m 7^{p + 1} - 2^{p + 1} - 5 * 2^{p} = 7 * 5 m 7^{p + 1} - 2^{p + 1} = 7 * 5 m + 5 * 2^{p} = 5 * (7 m + 2^{p}) \frac{7^{p + 1} - 2^{p + 1}}{5} = 7 m + 2^{p}$

Och eftersom HL måste vara ett heltal har man bevisat att påståendet gäller för n=p+1 om det gäller för n=p. Detta är egentligen krångligare än ditt sätt, men det är ett induktionsbevis, eftersom det utgår från induktionsantagandet.

Hm eftersom att uppgiften vill att man visar med induktion får jag göra om.

såhär löste facit men jag tyckte svanteR hade ett enklare förslag.

Hmm...

Facit använder induktionsantagandet för att rakt av byta ut $7^{p}$ mot $2^{p}$ . På det sättet blir det ett korrekt induktionsbevis. Men det är också en himla omväg, eftersom grundläggande kunskap om kongruensräkning ger att man kan göra det bytet.

Svara

Visa senaste svar