Geometriskt medelvärde

jag tänker sä här:

$$\begin{gathered} {\left(\frac{a+b}{2}\right)}^2\ge {\left(\sqrt{ab}\right)}^2\iff \frac{a^2+2ab+b^2}{4}\ge ab \\ \iff a^2+2ab+b^2\ge 4ab \\ \leftrightarrow a^2+b^2\ge 2ab \end{gathered}$$

Om du fortsätter med att flytta 2ab till VL får du a²+b²-2ab=(a-b)² och en jämn kvadrat kan aldrig vara negativ. Så långt allt väl. Men vi har ju kvadrerat och då gäller inte ekvivalenspilen när vi går tillbaka till a+b>=sqr(2ab). Precis som vid rotekvationer måste vi kolla resultatet. a och b kan nämligen inte vara vilka tal som helst. T ex kan de inte ha olika tecken - varför?

Vad händer när både a och b är icke-negativa?

Vad händer när både a och b är negativa?

kan man gör så här:

$\frac{a^2+b^2}{a}\ge \frac{2ab}{a}\iff a+\frac{b^2}{a}\ge \frac{2b}{a}$

Om a inte är 0 så Ja. Men vad gör du sedan? Hur visar du att den senare olikheten är sann? 

Jag ser nu i problemtexten att a och b är naturliga tal. Därmed bortfaller en hel del svårigheter jag tagit upp.

Låt A=(a+b)/2 och B= sqr(ab). Du har kommit till A>=B <==> A²>=B² . Men ekvivalensen gäller inte om a och b får vara negativa tal. T ex är -2>-3 men (-2)²=4 och (-3)²=9. Därför är det som angavs i problemtexten att a och b är Naturliga Tal avgörande för hela beviset.

De här är väl även AM-GM olikheten som förekommer mycket på Ma Tävlingar ?