Geometriska sannolikheter

Uppgift:
Antag att vi slumpvis väljer två tal x och y, sådana att 0 < x < {pi} och 0 < y < 1
Vad är då sannolikheten att
a) y < sin(x)
b) y > x

Mitt svar:
a) $\frac{\int_{0}^{π} \sin (x) d x}{π \cdot 1} = \frac{2}{π}$

b) - Jag är osäker på hur det fungerar.. Gynsamma är alla y värden där y är större än x alltså y är större än pi. Hur ska jag få till det? Ska jag ta typ $\int_{π}^{\infty} n å g o t$ ?

NVM

Ta och rita upp rektangeln som beskrivs av $0 < x < \pi$ , $0 < y < 1$ . I denna rektangel så markera ut det område där det gäller att $x < y$ . Du ska beräkna arean av detta område och dividera med arean av rektangeln.

Stokastisk skrev :
Ta och rita upp rektangeln som beskrivs av $0 < x < \pi$ , $0 < y < 1$ . I denna rektangel så markera ut det område där det gäller att $x < y$ . Du ska beräkna arean av detta område och dividera med arean av rektangeln.

Den första lilla rutan, då är y mindre än x.

Det ser ut såhär, jag ritade in även linjen $y = x$ , det är ovanför denna som det gäller att $y > x$ och det är det område jag har markerat med blått.

Stokastisk skrev :
Det ser ut såhär, jag ritade in även linjen $y = x$ , det är ovanför denna som det gäller att $y > x$ och det är det område jag har markerat med blått.

Kan du beskriva detta med egna ord? Förklara exakt vad som händer. Tack ( om du kan det)

Vi söker det område i rektangeln $0 < x < \pi$ , $0 < y < 1$ där det gäller att $x < y$ . Säg att vi väljer ett fixt $x$ bara för att försöka förklara hur man inser vilket område det är.

Vi väljer $x = 0.2$ , detta innebär att $0.2 < y$ . Så därför har vi att $0.2 < y < 1$ och $x = 0.2$ , detta är en rakt sträck bara. Testa rita ut det och välj några fel värden på $x$ . Ser du att det blir det område som jag markerat?

Så det är därför i markerade punkterna som det gäller att $x < y$ och sannolikheten att vi hamnar i det området (då vi väljer likformig) är helt enkelt den procent detta område utgör av hela rektangeln.

Stokastisk skrev :
Vi söker det område i rektangeln $0 < x < \pi$ , $0 < y < 1$ där det gäller att $x < y$ . Säg att vi väljer ett fixt $x$ bara för att försöka förklara hur man inser vilket område det är.
Vi väljer $x = 0.2$ , detta innebär att $0.2 < y$ . Så därför har vi att $0.2 < y < 1$ och $x = 0.2$ , detta är en rakt sträck bara. Testa rita ut det och välj några fel värden på $x$ . Ser du att det blir det område som jag markerat?
Så det är därför i markerade punkterna som det gäller att $x < y$ och sannolikheten att vi hamnar i det området (då vi väljer likformig) är helt enkelt den procent detta område utgör av hela rektangeln.

Nja...

Förstår inte. Du har markerat ett område där y är större än x, vet inte hur jag ska tolka det? om x = 0,5 så är y också 0,5 iallafall på den gula grafen. Sedan så har jag ingen aning om hur jag ska avläsa ett y värde med arean? Ska jag tänka triangelns area b*h/2 eller ngt? och jämföra areorna ?

Att de blir lika på den gula grafen har ingen betydelse för slutresultatet (den gula grafen utgör en nollmängd).

Vi söker alla punkter i rektangeln där det gäller att $x < y$ . Säg att du kastar pil på den där rektangeln, om du träffar en punkt i det området så har utfallet blivit att $x < y$ . Sannolikheten att du träffar där är arean av området dividerat med arean på rektangeln.

Ja du ska beräkna triangelns area och dividera den med rektangelns area.

Stokastisk skrev :
Att de blir lika på den gula grafen har ingen betydelse för slutresultatet (den gula grafen utgör en nollmängd).
Vi söker alla punkter i rektangeln där det gäller att $x < y$ . Säg att du kastar pil på den där rektangeln, om du träffar en punkt i det området så har utfallet blivit att $x < y$ . Sannolikheten att du träffar där är arean av området dividerat med arean på rektangeln.
Ja du ska beräkna triangelns area och dividera den med rektangelns area.

Jasså, nu förstår jag mer. Specielt när du säger dividera triangelns area med rektangelns area. Det gynsamma är den blåa arean, på något för mig just nu magiskt sätt så representerar den blåa arean ett område där y > x det är detta som jag inte förstår? Hur ska jag se på det.

Det kanske låter fånigt, men ta lite punkter i rektangeln och även i det blå området, och kolla vad de har för x och y värden. Var verkar det gälla att y > x? Märker du att det alltid är i det blå området det gäller?

MattePapput skrev :
Jasså, nu förstår jag mer. Specielt när du säger dividera triangelns area med rektangelns area. Det gynsamma är den blåa arean, på något för mig just nu magiskt sätt så representerar den blåa arean ett område där y > x det är detta som jag inte förstår? Hur ska jag se på det.

Alla punkter ovanför linjen y = x uppfyller villkoret y > x
Alla punkter på linjen y = x uppfyller villkoret y = x
Alla punkter under linjen y = x uppfyller villkoret y < x

Stokastisk skrev :
Det kanske låter fånigt, men ta lite punkter i rektangeln och även i det blå området, och kolla vad de har för x och y värden. Var verkar det gälla att y > x? Märker du att det alltid är i det blå området det gäller?

Jaha, tror jag förstår. x=y på grafen men en punkt över grafen så är alltid y värdet större än x värdet. Och arean ska alltså representera alla dessa utfall? Man tänker i areor, alltså ja okej. Något sånt. Mm då förstår jag. Innanför det blå området så är ALLTID y större än x men precis på grafen så är det samma. Och tvärtom gäller under grafen.

Nu förstår jag det också, det går frammåt här.

Frågan lyder :"antag att vi slumpvis väljer två tal x och y (Dom menar en punkt, eller helt enkelt ett x och y värde räcker att veta kanske) Och nu har du markerat alla möjliga utfall där y är större än x och sedan dividerat på totalt möjliga utfall och då får du ut det vi inom matten har kommit överens om kallas sannolikhet, Right?

Japp det låter som du förstår det.

Man letar helt enkelt reda på området där det gäller att $y > x$ och beräknar arean på detta, sedan dividerar man detta med arean på området som utgörs av alla utfall.

Stokastisk skrev :
Japp det låter som du förstår det.
Man letar helt enkelt reda på området där det gäller att $y > x$ och beräknar arean på detta, sedan dividerar man detta med arean på området som utgörs av alla utfall.

Ja, det var lätt att förstå men man måste bara förklara det för mig på ett väldigt grundläggande sätt.

Vad kan du säga om sannolikhet i sig? Alltså vad ligger bakom att man tar $\frac{g y n s a m m a}{t o t a l t m ö j l i g a}$ Vart kommer detta ifrån och varför har man valt att tolka sannolikhet på det sättet? Är det divisionen "hur många nämnare behövs det för att få täljaren" ? Det känns som att Talteori, mängdlära och några andra områden inom den diskreta matten ger en väldigt bra förståelse på många grundläggande saker? Stämmer det att jag kan dra nytta av dessa områden för att få en bredare förståelse vad det gäller detta?

Som jag kanske nämnt tidigare så tänker jag nästan alltid på sannolikheter som areor. Det är väldigt naturligt synsätt på det. Så i detta fall så har du ju att den blå arean utgör någon viss procent, säg p, av hela området.

Vi kan säga att om vi bara skulle släppa pilar slumpmässigt på detta område, när vi släppt väldigt många pilar, då kommer ju andelen pilar, dvs "gynsamma"/"totalt möjliga", som är i det blå området vara ungefär lika stort som den procentuella del som det blå området utgör, alltså p.

Stokastisk skrev :
Som jag kanske nämnt tidigare så tänker jag nästan alltid på sannolikheter som areor. Det är väldigt naturligt synsätt på det. Så i detta fall så har du ju att den blå arean utgör någon viss procent, säg p, av hela området.
Vi kan säga att om vi bara skulle släppa pilar slumpmässigt på detta område, när vi släppt väldigt många pilar, då kommer ju andelen pilar, dvs "gynsamma"/"totalt möjliga", som är i det blå området vara ungefär lika stort som den procentuella del som det blå området utgör, alltså p.

Okej tack båda två.

Svara

Visa senaste svar