4 svar
331 visningar
Kombinatorik behöver inte mer hjälp
Kombinatorik 357 – Fd. Medlem
Postad: 19 apr 2017 23:31

Geometrisk summa med olikhet

Hej!

Uppgiften lyder:

" Talföljden 12   14   18   116   ... är geometrisk.

Beräkna det minsta antal termer i talföljden som ska adderas för att summan ska överstiga 999 9991 000 000"

Mitt försök:

121-12n12 >999 9991 000 000    12n<11 000 000   n < lg11 000 000lg1220

Men jag vill ju få n > .... och inte n < .... så varför blir olikheten inte rätt??

Yngve 40157 – Livehjälpare
Postad: 19 apr 2017 23:43
Kombinatorik skrev :

Hej!

Uppgiften lyder:

" Talföljden 12   14   18   116   ... är geometrisk.

Beräkna det minsta antal termer i talföljden som ska adderas för att summan ska överstiga 999 9991 000 000"

Mitt försök:

121-12n12 >999 9991 000 000    12n<11 000 000   n < lg11 000 000lg1220

Men jag vill ju få n > .... och inte n < .... så varför blir olikheten inte rätt??

Vad dividerar du egentligen med i sista steget?

Jo, lg(1/2). Hmm ... Få se nu ... ;-)

Kombinatorik 357 – Fd. Medlem
Postad: 19 apr 2017 23:46
Yngve skrev :
Kombinatorik skrev :

Hej!

Uppgiften lyder:

" Talföljden 12   14   18   116   ... är geometrisk.

Beräkna det minsta antal termer i talföljden som ska adderas för att summan ska överstiga 999 9991 000 000"

Mitt försök:

121-12n12 >999 9991 000 000    12n<11 000 000   n < lg11 000 000lg1220

Men jag vill ju få n > .... och inte n < .... så varför blir olikheten inte rätt??

Vad dividerar du egentligen med i sista steget?

Jo, lg(1/2). Hmm ... Få se nu ... ;-)

Just det log(1/2) är ju ett negativt tal! därmed byter man håll på olikhetstecknet! :)

Yngve 40157 – Livehjälpare
Postad: 19 apr 2017 23:58

Jupp.

Vid hantering av olikheter är det bra att alltid fundera ett extra varv på vad ens "standardmetoder"egentligen innebär.

Albiki 5096 – Fd. Medlem
Postad: 20 apr 2017 01:38

Hej!

Den geometriska summan 1+0.5+0.52++0.5n 1 + 0.5 + 0.5^2 + \cdots + 0.5^n är lika med talet  1-0.5n+10.5, \frac{1-0.5^{n+1}}{0.5} , vilket ger att summan

    0.5+0.52++0.5n=2(1-0.5n+1)-1=1-0.5n . \displaystyle 0.5 + 0.5^2 + \cdots + 0.5^n = 2(1-0.5^{n+1}) - 1 = 1 - 0.5^{n}\ .

För att denna summa ska vara större än talet 0<a<1 0<a<1 måste antalet termer ( n n ) vara sådant att 

    1-0.5n>a    log(1-a)>nlog0.5    n>log(1-a)log0.5, \displaystyle 1-0.5^{n}>a \quad \Leftrightarrow \quad \log(1-a) > n\log 0.5 \quad \Leftrightarrow \quad n > \frac{\log(1-a)}{\log 0.5},

där olikheten ändrar riktning eftersom du dividerar med det negativa talet log0.5 . \log 0.5\ .

Albiki

Svara
Close