Geometrisk summa med olikhet

Kombinatorik skrev :

Hej!

Uppgiften lyder:

" Talföljden $\frac{1}{2} \frac{1}{4} \frac{1}{8} \frac{1}{16} ...$ är geometrisk.

Beräkna det minsta antal termer i talföljden som ska adderas för att summan ska överstiga $\frac{999 999}{1 000 000}$"

Mitt försök:

$\frac{1}{2}\left(\frac{1-{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^n}{{\displaystyle \frac{1}{2}}}\right) >\frac{999 999}{1 000 000} \iff {\left(\frac{1}{2}\right)}^n<\frac{1}{1 000 000} \iff n < \frac{lg\left({\displaystyle \frac{1}{1 000 000}}\right)}{lg\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}\approx 20$

Men jag vill ju få n > .... och inte n < .... så varför blir olikheten inte rätt??

Vad dividerar du egentligen med i sista steget?

Jo, lg(1/2). Hmm ... Få se nu ... ;-)

Yngve skrev :

Kombinatorik skrev :

Hej!

Uppgiften lyder:

" Talföljden $\frac{1}{2} \frac{1}{4} \frac{1}{8} \frac{1}{16} ...$ är geometrisk.

Beräkna det minsta antal termer i talföljden som ska adderas för att summan ska överstiga $\frac{999 999}{1 000 000}$"

Mitt försök:

$\frac{1}{2}\left(\frac{1-{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^n}{{\displaystyle \frac{1}{2}}}\right) >\frac{999 999}{1 000 000} \iff {\left(\frac{1}{2}\right)}^n<\frac{1}{1 000 000} \iff n < \frac{lg\left({\displaystyle \frac{1}{1 000 000}}\right)}{lg\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}\approx 20$

Men jag vill ju få n > .... och inte n < .... så varför blir olikheten inte rätt??

Vad dividerar du egentligen med i sista steget?

Jo, lg(1/2). Hmm ... Få se nu ... ;-)

Just det log(1/2) är ju ett negativt tal! därmed byter man håll på olikhetstecknet! :)

Jupp.

Vid hantering av olikheter är det bra att alltid fundera ett extra varv på vad ens "standardmetoder"egentligen innebär.

Hej!

Den geometriska summan $1 + 0.5 + 0.5^2 + \cdots + 0.5^n$ är lika med talet  $\frac{1-0.5^{n+1}}{0.5} ,$ vilket ger att summan

    $\displaystyle 0.5 + 0.5^2 + \cdots + 0.5^n = 2(1-0.5^{n+1}) - 1 = 1 - 0.5^{n}\ .$

För att denna summa ska vara större än talet $0<a<1$ måste antalet termer ($n$) vara sådant att 

    $\displaystyle 1-0.5^{n}>a \quad \Leftrightarrow \quad \log(1-a) > n\log 0.5 \quad \Leftrightarrow \quad n > \frac{\log(1-a)}{\log 0.5},$

där olikheten ändrar riktning eftersom du dividerar med det negativa talet $\log 0.5\ .$

Albiki