Geometrisk summa + Limes

Hej, jag har fastnat på en uppgift. Jag har prövat med flera olika metoder men får ständigt fel. Detta är vad jag har fått fram hittills:

$A = 1 / 4 B = 5 / 16 C = 21 / 64$

Jag tänker nu att man ska ställa upp en geometrisk summa, därför ställer jag upp följande: $a_{1} = 1 / 4 f ö r \lim_{n \to \infty} a_{1} * (k^{n} - 1) / k - 1$ .

Problemet är att jag inte kan lösa ut vad K är för något, kvoten är ju inte samma, t ex $\frac{B}{A} \neq \frac{C}{B}$ . Jag ser dock ett mönster mellan A, B och C. Det verkar som att nämnaren är $4^{n}$ . Jag tänker såhär: $A_{n} = \frac{1}{4^{n}} + \frac{a_{n - 1}}{4^{n - 1}}$ . Det är så långt jag kommer själv tyvärr, några tankar? Vart är det jag tänker fel? Tack på förhand!

Se det som talföljden $\frac{1}{4^1},\ \frac{1}{4^2},\ \frac{1}{4^3},\ \frac{1}{4^4}\ ...$ . Då är det samma kvot mellan varje term. Alltså A = S₁, B = S₂ och så vidare.

Jag förstår inte riktigt dina tankegångar.

Pröva det här:

A: 1/4

B: 1/4 + 1/16

C: 1/4 + 1/16 + 1/64

Kommer du vidare på det sättet?

Smaragdalena, jag förstår den delen men kvoten blir väl inte konstant då?

Yngve, det är så jag menar men skrev det lite fel. Jag ser just det mönstret men kan inte komma vidare därifrån. Nästa blir då 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256...etc men vet inte riktigt hur jag ska skriva ut summan, det är alltid föregående summa + 1/4^n, där n är elementets index. Är det kvoten i så fall? Och om det är, varför får jag inte samma kvot när jag delar två på varandra följande element? Sorry om det är lite otydligt....

Vad är kvoten mellan 1/4 och 1/16? Vad är kvoten mellan 1/16 och 1/64? Vad är kvoten mellan 1/64 och 1/256? Är kvoten konstant?

Det är alltså talföljden som har en konstant kvot, inte summan.

Ja men vad är det den talföljden står för? 1/4, 1/4^2, 1/4^3....etc, hur hänger just det ihop med andelarna och summan?

Termerna i talföljden är arean av var och en av de blå kvadraterna.

A är summan av bara den första termen, B är summan av två termer, C är summan av 3 termer, D är summan av 4 termer och så vidare.

Jaha, ok det låter vettigt. Sen är det bara att summera de, nu fattar jag. Att tänka på det som area är så mycket rimligare, jag blandade ihop och tänkte på att kvoten mellan varje summa skulle vara konstant. Så $\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{4} * (0, 25^{n} - 1)}{(0, 25 - 1)} = \frac{\frac{1}{4} * (- 1)}{(- \frac{3}{4})} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$

Eftersom 0,25^n ungefär blir 0 när n-->00.

Svara

Visa senaste svar