Geometrisk summa Exponent 3b 1026

Hur många element innehåller en geometrisk talföljd som har första elementet 5, kvoten 4 och summan 109225?

Jag har inte förstått hur man räknar ut antalet element som finns i en talföljd om man vet första elementet, kvoten och det sista elementet. I andra uppgifter har jag testat mig fram och multiplicerat varje element med kvoten tills dess att jag fått fram sista elementet och på så sätt räknat ut hur många element talföljden innehåller. Det måste finnas ett smidigare sätt att beräkna detta, men hur?

Det finns mycket riktigt ett smidigare sätt! Titta på formeln för en geometrisk summa:

$S = \frac{a (k^{n} - 1)}{k - 1}$

Vad är S, a, k och n i denna formel? Vilka av dessa är kända i ditt fall? :)

$S = \frac{a_{1} (k^{n} - 1)}{k - 1}$ S=109225 a₁=5 K=4

$109225 = \frac{5 (4^{n} - 1)}{4 - 1}$

5(4ⁿ-1) = 327675

4ⁿ-1 = 65535

4ⁿ= 65536

n x lg 4 = lg 65536

n = $\frac{\lg 65536}{\lg 4}$

n = 8

Är detta rätt eller har jag krånglat till det i onödan?

I stora drag ser det utmärkt ut! Om du vill förenkla beräkningen med några steg kan du:

Beräkna nämnaren i HL direkt, så att du kan genomföra beräkningen:

$109225 = \frac{5 (4^{n} - 1)}{4 - 1} \Leftrightarrow 109225 \cdot \frac{3}{5} = 4^{n} - 1$
Använd bas fyra när du loggar, så får du direkt att $n = \log_{4} 65536$ . Det är lite snabbare, och framförallt lättare att beräkna med papper och penna. :)

Svara

Visa senaste svar