Geometrisk summa

Vad tycker du praktiskt sker i varje steg när man går från figur till figur? Vad är det som är gemensamt mellan figurerna och vad är det som är olika? Vilken är denna skillnad konkret?

SeriousCephalopod skrev:

Vad tycker du praktiskt sker i varje steg när man går från figur till figur? Vad är det som är gemensamt mellan figurerna och vad är det som är olika? Vilken är denna skillnad konkret?

 Det enda jag ser är att det läggs till en rad för varje figur. Men hur skriver man det matematiskt? 

Nästa ska vara 2st á 5x5. Men vad är k?

Börja med den vanliga formeln. I figur $5$ har du ju konstaterat att det ska vara $2 \cdot 5 \cdot 5$. Hur blir det i figur $n$?

AlvinB skrev:

Börja med den vanliga formeln. I figur $5$ har du ju konstaterat att det ska vara $2 \cdot 5 \cdot 5$. Hur blir det i figur $n$?

 Är det 2•n^2

Alltså är den vanliga formeln: a(n)=2•n^2

Just det, $a(n)=2n^{2}$. Nu gäller det att ta fram en rekursionsformel, alltså att definiera $a(n)$ med hjälp av $a(n-1)$

AlvinB skrev:

Just det, $a(n)=2n^{2}$. Nu gäller det att ta fram en rekursionsformel, alltså att definiera $a(n)$ med hjälp av $a(n-1)$

 Jag hittade där någon hade gjort så här, men jag förstår det inte riktigt. Vad exakt är en rekursionsformel? 

Det här talet är från ma5, jag är på matte 3 och i våran bok så står det ingen förklaring, ordet nämns inte ens.

Okej. I en rekursionsformel har man ett startvärde (ofta får man veta $a_{0}$ eller $a_{1}$) och därefter definieras nästa värde som ett uttryck utifrån föregående värde.

Om vi exempelvis tar startvärde $a_{0}=1$ och rekursionsformel $a_{n}=a_{n-1}+2$ får man serien:

$1,3,5,7,9...$

Vad uttrycket $a_{n}=a_{n-1}+2$ betyder är helt enkelt att för att få $a_{n}$ tar man föregående värde i serien, $a_{n-1}$, och lägger på $2$.

Kan du skriva en liknande formel för din uppgift? Du kan kolla på uträkningarna i bilden du lade upp, kom bara ihåg att i den uppgiften har de inte två kvadrater, utan bara en.

AlvinB skrev:

Okej. I en rekursionsformel har man ett startvärde (ofta får man veta $a_{0}$ eller $a_{1}$) och därefter definieras nästa värde som ett uttryck utifrån föregående värde.

Om vi exempelvis tar startvärde $a_{0}=1$ och rekursionsformel $a_{n}=a_{n-1}+2$ får man serien:

$1,3,5,7,9...$

Vad uttrycket $a_{n}=a_{n-1}+2$ betyder är helt enkelt att för att få $a_{n}$ tar man föregående värde i serien, $a_{n-1}$, och lägger på $2$.

Kan du skriva en liknande formel för din uppgift? Du kan kolla på uträkningarna i bilden du lade upp, kom bara ihåg att i den uppgiften har de inte två kvadrater, utan bara en.

Skulle det kunna vara: an=1+(n-1)•n^2  eller är jag helt ute och cyklar? 

Är an=1+(n-1)•n^2 en rekursionsformel som passar med det här talet?

Nja, inte riktigt. En rekursionsformel ska ju ge $a_n$ utifrån $a_{n-1}$, d.v.s. du skall multiplicera/addera något med $a_{n-1}$ får att få $a_{n}$.

AlvinB skrev:

Nja, inte riktigt. En rekursionsformel ska ju ge $a_n$ utifrån $a_{n-1}$, d.v.s. du skall multiplicera/addera något med $a_{n-1}$ får att få $a_{n}$.

 Skulle du kunna visa? Har prov om några timmar

Ja, okej då.

Det kan vara ganska klurigt att ta fram en rekursionsformel till den här uppgiften eftersom man måste kunna se hur många prickar som läggs till efter varje steg. Om vi kollar på bilden som du la upp är de röda och lila prickarna de som läggs till för varje steg. De är ju två rader av längd $n$, men eftersom hörnet är del i båda rader blir resultatet att lägger man till $2n-1$ på kvadraten. Eftersom vi har två kvadrater måste vi dubbla detta, och alltså blir skillnaden mellan $a_{n}$ och $a_{n-1}$ lika med $4n-2$. Rekursionsformeln blir då:

$a_{n}=a_{n-1}+4n-2$

Ett annat sätt att ta reda på rekursionsformeln är att vi vet den explicita formeln, så vi kan helt enkelt subtrahera $a_{n}$ med $a_{n-1}$:

$a_{n}-a_{n-1}=2n^{2}-2(n-1)^2=2n^{2}-2(n^{2}-2n+1)=2n^2-2n^2+4n-2=4n-2$

Eftersom skillnaden mellan varje term är $4n-2$ ger detta att rekursionsformeln:

$a_{n}=a_{n-1}+4n-2$

Sen behöver vi bara ange ett startvärde (förslagsvis den första figuren i serien), men det låter jag dig klura ut. :-)

Ett exempel på en rekursionsformel är Fibonacciserien, där man får varje tal genom att addera de två senaste talen. Om man börjar med talen 1 och 1 kommer det att bli 2, 3, 5, 8, 13, 21 och så vidare. Formellt kan man skriva detta som

$n_{n+1}=n_n+n_{n+1}$