Geometrisk summa

Detta är inte en geometrisk summa.

Bubo skrev :

Detta är inte en geometrisk summa.

Detta börjar ganska dramatisk...

(vad ska jag göra?)

$(1+x)^{10} = \sum_{p=0}^{10} x^p \binom{10}{p} = 1 + 10x + \sum_{p=2}^{10} x^p \binom{10}{p}$

Kan du derivera denna två gånger?

pi-streck=en-halv skrev :

$(1+x)^{10} = \sum_{p=0}^{10} x^p \binom{10}{p} = 1 + 10x + \sum_{p=2}^{10} x^p \binom{10}{p}$

Kan du derivera denna två gånger?

Hej pi-streck!

... jag förstår inte vad är det som pågår.

Varför skulle jag behöva derivera?

Och dessutom, varifrån kommer ${\left(1+x\right)}^{10}$? Dessutom varför blir det $1+10x$efter den andra likhetstecken?

Om man deriverar högerledet två gånger Och sätter $x=1$ får man din summa förutom att din summa börjar på $p=1$, men termen för $p=1$ är ändå noll. 

$1+10x$ är de två första termerna i binomialutvecklingen 

Ok, jag är en total åsna, men jag förstår inte länken mellan derivering och summan!

Det är okej att vara en åsna! 

Men, binomialutvecklingen av $(1+x)^{10} = \sum_{p=0}^{10} \binom{10}{p} x^p =$

$= 1 + 10x + 45x^2 + 120x^3 + 210 x^4 + 245x^5 + 210 x^6 + 120 x^7 + 45x^8 + 10x^9 + x^{10}$

Andraderivatan $\frac{d^2}{dx^2} (1+x)^{10} = 2 \cdot 1 \cdot 45 + 3 \cdot 2 \cdot 120 x + 4 \cdot 3 \cdot 210 x^2 ... = \sum_{p=2}^{10} \binom{10}{p} p (p-1) x^{p-2}$

Utvärderad i $x=1$, får vi $\frac{d^2}{dx^2} (1+x)^{10} |_{x=1} = \sum_{p=2}^{10} \binom{10}{p} p (p-1)$

Oj... jag måste fundera, jag tror att det är en liten del som jag har inte pluggat än, nämligen pinnen.

Det betyder bara "utvärderad i $x=1$". Jag är inte helt hundra på notationen dock.

Så $\frac{d^2}{dx^2} (1+x)^{10} |_{x=1} = 10 \cdot 9 \cdot (1+1)^8$

Språkpolisen (du sade att det var ok, dajamanté):

Till ni som kommer att läsa detta tråd ... liten disharmoni i mina öron men man förstår
Till er som kommer att läsa detta tråd ... är harmoni i mina öron
Fråga mig inte hur jag vet. Språk är märkligt ...

Språk polisen är alltid välkommen :)!!

Tack!

Nu måste jag laga mat o allt, så jag måste fortsätta med matteproblemet senare...

språkpolisen ... ingen särskrivning! Non!

PeterÅ skrev :

Språkpolisen (du sade att det var ok, dajamanté):

Till ni som kommer att läsa detta tråd ... liten disharmoni i mina öron men man förstår
Till er som kommer att läsa detta tråd ... är harmoni i mina öron
Fråga mig inte hur jag vet. Språk är märkligt ...

... denna tråd?

Japp! dajamanté har efterfrågat det i sin strävan efter att förfina sin svenska. Se själv:
https://www.pluggakuten.se/trad/sprak-polis-sokes/#post-f3f95231-0663-483d-9624-a87600da2d56

Ok, på den negativa sidan, måste jag erkänna att jag fortfarande inte förstått varför jag måste derivera för att beräkna detta uppgift. På vilket princip baseras uppgiften? Kan du länka något lektion som jag kan läsa? Nu är jag 100% säkert att vi inte gick igenom den.

På den positiva sidan, killen som jobbar på caféet där jag sitter ibland på morgnarna tror att jag är en matematiker (efter att han såg mig skriva om pi-streck=en-halv ekvationen med alla sigma, derivator och raka pinnar utvärderad-i-x).

Hej!

Du vill beräkna summan

    $2{10 \choose 2} + 3 \cdot 2 {10 \choose 3} + 4 \cdot 3 {10 \choose 4} + 5 \cdot 4 {10 \choose 5} + 6 \cdot 5 {10 \choose 6} + 7 \cdot 6 {10 \choose 7} + 8 \cdot 7 {10 \choose 8} + 9 \cdot 8 {10 \choose 9} + 10 \cdot 9 {10 \choose 10}\ .$

Med Binomialsatsen kan funktionen $f(x) = (1+x)^{10}$ skrivas såhär.

    $f(x) = {10 \choose 0} + {10 \choose 1}x + {10 \choose 2}x^{2} + {10 \choose 3}x^{3} +{10 \choose 4}x^{4} +{10 \choose 5}x^{5} +{10 \choose 6}x^{6} +{10 \choose 7}x^{7} +{10 \choose 8}x^{8} + {10 \choose 9}x^{9} +{10 \choose 10}x^{10}\ .$

Funktionens derivata är

    $f'(x) = {10 \choose 1} + 2{10 \choose 2}x^{1} + 3{10 \choose 3}x^{2}+4{10 \choose 4}x^{3}+5{10 \choose 5}x^{4}+6{10 \choose 6}x^{5}+7{10 \choose 7}x^{6}+8{10 \choose 8}x^{7}+9{10 \choose 8}x^{3}+10{10 \choose 10}x^{9}\ .$

Funktionens andraderivata är

    $f''(x) = 2{10 \choose 2} + 3\cdot 2 {10\choose 3}x + 4\cdot 3{10 \choose 4}x^{2} +5\cdot 4 {10\choose 5}x^{3} + 6\cdot 5{10 \choose 6}x^{4} +7\cdot 6 {10\choose 7}x^{5} + 8\cdot 7{10 \choose 8}x^{6} +9\cdot 8 {10\choose 9}x^{7} + 10\cdot 9{10 \choose 10}x^{8}\ .$

Albiki skrev :

Med Binomialsatsen kan funktionen $f(x) = (1+x)^{10}$ skrivas såhär.

    $f(x) = {10 \choose 0} + {10 \choose 1}x + {10 \choose 2}x^{2} + {10 \choose 3}x^{3} +{10 \choose 4}x^{4} +{10 \choose 5}x^{5} +{10 \choose 6}x^{6} +{10 \choose 7}x^{7} +{10 \choose 8}x^{8} + {10 \choose 9}x^{9} +{10 \choose 10}x^{10}\ .$

Men varför behöver jag binomialsatsen?

Andraderivatans värde för $x = 1$ är lika med summan som du vill beräkna.

    $f''(1) = 2{10 \choose 2} + 3 \cdot 2 {10 \choose 3} + 4 \cdot 3 {10 \choose 4} + 5 \cdot 4 {10 \choose 5} + 6 \cdot 5 {10 \choose 6} + 7 \cdot 6 {10 \choose 7} + 8 \cdot 7 {10 \choose 8} + 9 \cdot 8 {10 \choose 9} + 10 \cdot 9 {10 \choose 10}\ .$

Eftersom $f(x) = (1+x)^{10}$ så kan andraderivatan också beräknas till

    $f''(x) = 10 \cdot 9(1+x)^{8}\ .$

Andraderivatans värde för $x = 1$ är

    $f''(1) = 90 \cdot 2^{8} = 23040\ .$

Summan som du vill beräkna är alltså lika med $23040\ .$

Men varför då? Jag är inte med med huvudprincipen..

Vilket beteckningssätt föredrar du Daja?

Det långa sättet som jag använt i denna tråd, eller det korta sättet med summasymbolen?

Jag tycker att det är jättelätt att följa, men jag förstår inte något väldigt basalt: varför måste vi derivera för att få summan? Jag förstår inte sambandet mellan derivering och addering i den här fallet.

Det är där jag fastnade:

Andraderivatans värde för $x=1$ är lika med summan som du vill beräkna.

Daja, 

Det verkar som att du hänger upp dig på varför man ska derivera? Är det lite av en filosofisk fråga?

Jag tror uppgiften går ut på att man ska känna igen uttrycket för summan som just andraderivatan av $(1+x)^{10}$, och man kan börja ana att det har med binomialutvecklingen att göra på grund av $\binom{10}{p}$.

Ett annat, kanske lite klurigare exempel, är 

$\sum_{p=1}^{10} p^2 \binom{10}{p}$.

Den löser vi genom att inse (komma ihåg efter att ha löst en liknande uppgift?) att vi kan använda att

$f(x) = (1+x)^{10} = \sum_{p=0}^{10} x^p \binom{10}{p}$

Vi deriverar en gång

$f'(x) = 10(1+x)^9 = \sum_{p=1}^{10} p x^{p-1} \binom{10}{p}$

Multiplicera med $x$

$g(x) = x \cdot f'(x) = \sum_{p=1}^{10} p x^p \binom{10}{p}$

Derivera ytterligare en gång

$g'(x) = 10(1+x)^9 + 10\cdot 9\cdot x (1+x)^8 = \sum_{p=1}^{10} p^2 x^{p-1} \binom{10}{p}$

Sätt $x = 1$

$g'(1) = 10\cdot 2^9 + 10 \cdot 9 \cdot 2^8 = 28160$

pi-streck=en-halv skrev :

Daja, 

Det verkar som att du hänger upp dig på varför man ska derivera? Är det lite av en filosofisk fråga?

Det var en rent matematisk fråga :)

Jag tror uppgiften går ut på att man ska känna igen uttrycket för summan som just andraderivatan av $(1+x)^{10}$, och man kan börja ana att det har med binomialutvecklingen att göra på grund av $\binom{10}{p}$.

Jo, det var precis det. Jag hade ingen aning att vi behövde känna igen uttrycket för summan som andra derivata. Nu har jag tillräckligt kött på benen (om man får säga så) för att fundera och testa (och även svaret :))!

Tack så mycket till alla som förklarade det med tålamodet!